Çözüldü Kompleks Düzlemde Logaritmik Türev - Karmaşık Hiperbolik Fonksiyonlara Dönüşüm

https://i.ibb.co/vXbN8J1/Complex-Derivative.jpg
https://www.facebook.com/photo/?fbid=231547269181555&set=gm.2478451025625759
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

w ∈ C
w = [ sin(i·z - 2) ]^arctan(z + 3i)
ln(w) = [ arctan(z + 3i) ]·ln[ sin(i·z - 2) ]
w' / w = [ (1 + 0) / (1 + z^2 + 6z·i - 9) ]·ln[ sin(i·z - 2) ] + [ arctan(z + 3i) ]·{ [ (i·1 - 0)·cos(i·z - 2) ] / sin(i·z - 2) }
w' / w = [ 1 / (z^2 + 6z·i - 8) ]·ln[ sin(i·z - 2) ] + [ i·arctan(z + 3i) ]·cot(i·z - 2)
w' = w·{ [ 1 / (z^2 + 6z·i - 8) ]·ln[ sin(i·z - 2) ] + [ i·arctan(z + 3i) ]·cot(i·z - 2) }
w' = { [ sin(i·z - 2) ]^arctan(z + 3i) }·{ [ ln[ sin(i·z - 2) ] / (z^2 + 6z·i - 8) ] + [ i·arctan(z + 3i) ]·cot(i·z - 2) }

Yukarıdaki sonuç yeterlidir ama ters hiperbolik fonksiyona geçilip arctan(z + 3i) = i·arctanh(3 - i·z) dönüşümü kullanılarak WolframAlpha'nın verdiği gibi;

w' = { [ sin(i·z - 2) ]^[ i·arctanh(3 - i·z) ] }·{ [ ln[ sin(i·z - 2) ] / (z^2 + 6z·i - 8) ] - [ arctanh(3 - i·z) ]·cot(i·z - 2) }

olarak da gösterilebilir.

WolframAlpha Kontrolu:

https://i.ibb.co/HXWxGfr/Complexhyperbolic.png
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(d/dz)(sin(i*z-2)^arctan(z+3i))

Kaynaklar:
http://scipp.ucsc.edu/~haber/archives/physics116A10/arc_10.pdf
https://www.math.arizona.edu/~lega/322/Spring07/Complex_Numbers_5_6_7_Handout_2x2.pdf