Çözüldü Kompleks Fonksiyonlar Teorisi (3 Soru)

Kompleks değerli bir fonksiyondan-dönüşümden bahsedebilmek için iki düzlem gerekir; birini z=x+iy, diğerine de w=u+iv ile temsil ederiz.

Sayın Cem Hocamızın kendi çözümü yüklendiği lanet imageshack.us sitesinden silindiği için;

a, m, n ∈ R, z = m + n·i
| e^[ i·a·(m + n·i)^2 ] | =
| e^[ i·a·(m^2 - n^2 + 2·m·n·i) ] | =
| e^[ a·(m^2 - n^2)·i - 2·a·m·n ] | =
| e^[ -2·a·m·n + a·(m^2 - n^2)·i ] | =
| [ e^(-2·a·m·n) ]·{ e^[ a·(m^2 - n^2)·i ] } | =
[ e^(-2·a·m·n) ]·| e^[ a·(m^2 - n^2)·i ] | = [ e^(-2·a·m·n) ]·1 = e^(-2·a·m·n) = 1 / e^(2·a·m·n) çünkü
[ e^(-2·a·m·n) ]·| cos[ a·(m^2 - n^2) ] + i·sin[ a·(m^2 - n^2) ] | =
[ e^(-2·a·m·n) ]·( { cos[ a·(m^2 - n^2) ] }^2 + { sin[ a·(m^2 - n^2) ] }^2 ) =
[ e^(-2·a·m·n) ]·1 =
e^(-2·a·m·n) = 1 / e^(2·a·m·n).

İrdeleme: z kompleks sayısının m veya n gerçel bileşenlerinden biri sıfırsa sonuç 1 olur.

WolframAlpha Kontrolu:
a = 1, m = 2, n = 3 için sonuç e^(-2·1·2·3) = e^(-12) = 1 / e^12

https://i.ibb.co/GQzMb3y/kompleks.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=z=2+3*i,abs(e^(i*1*z^2))