Çözüldü Kuvvet Serileri (2 Soru)

Soru - 1
f(x) = x / (x^2 + 9) ⇒ f(0) = 0
f '(x) = (9 - x^2) / [ (x^2 + 9)^2 ] ⇒ f '(0) = 1 / 9
f ''(x) = [ 2x(x^2 - 27) ] / [ (x^2 + 9)^3 ] ⇒ f ''(0) = 0
f '''(x) = -6(x^4 - 54x^2 + 81) / [ (x^2 + 9)^4 ] ⇒ f '''(0) = -2 / 27
çift kuvvetten türevlerin x = 0 için değeri 0 olduğuna dikkat edilerek f^(iv)(0) = 0
f^(v)(x) = -[120(x^6 - 135x^4 + 1215x^2 - 729) ] / (x^2 + 9)^6 ⇒ f^(v)(0) = -120(-729) / (9^6) = 1 / 729
Maclaurin Serisine açılırsa f(x) = f(0) + [ (x^1) / 1!]·f '(0) + [ (x^2) / 2!]·f ''(0) + [ (x^3) / 3!]·f '''(0) + ... + [ (x^n) / n!]·f (n)(0)
f(x) = x / 9 - (x^3) / 81 + (x^5) / 729 - ... serisine göre;
n = 0 ⇒ [ (-1)^0 / (3^2) ]·x^1 = x / 9
n = 1 ⇒ [ (-1)^1 / (3^4) ]·x^3 = -(x^3) / 81
n = 2 ⇒ [ (-1)^2 / (3^6) ]·x^5 = (x^5) / 729
olarak terimleri sağladığı dolayısıyla da verilen genel terimin doğru olduğu görülür.
---
Soru - 2:
https://www.math24.net/comparison-tests/#example1

Rica ederim, 2. soru mukayese (karşılaştırma - comparison) yerine aşağıdaki gibi integral testi ile de yapılabilir:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/integr38.png