Çözüldü Limit - İntegralin Temel Teoremi (Fundamental Theorem of Calculus)

İzmir Ekonomi Üniversitesi'nden çözümlü bir sorunun fen lisesi klasik sınavı için biraz zorlaştırılmış uyarlaması:

n ∈ N olmak üzere sin(x) = (-1)^n·x^(2n + 1) / (2n + 1)! serisiyle yazılabildiğine göre y = sin(t^2) eğrisinin analitik düzlemin I. Bölgesinde eksenler ile t = x doğrusu arasında kalan alan fonksiyonu da S(x) ise
lim (x → 0) [ x^3 - 3·S(x) ] / x^7 = ?

Alan değerinin hesaplanmasındaki integralin fonksiyonun alt ve üst sınırları x → 0 için 0 / 0 belirsizliğini içerdiğinden L'Hospital Kuralı ve İntegralin I. Temel Teoremi birlikte uygulanırsa S'(x) = sin(x^2) ve problemde verilmiş olan serinin açılımındaki ilk iki terimden;
sin(x) = x - x^3 / 6 + ... ⇒ sin(x^2) = x^2 - x^6 / 6 + ... = S'(x)
lim (x → 0) { 3x^2 - 3·[ x^2 - x^6 / 6 + ... ] } / (7x^6)
lim (x → 0) [ 1 / 2 + g(x) ] / 7 = (1 / 2 + 0 - 0 + ...) / 7 = 1 / 14.

Sorunun Aslı ve Çözümü:

https://i.ibb.co/gZFrx63Q/ieu.png
http://dm.ieu.edu.tr/math154/2009/solution manual for final.pdf
[ Sayfa 1 - 2, Soru 1.(b) ]