Çözüldü Limit İşleminde Serilerin ve Cebirsel Değişken Dönüşümünün Kullanımı

University of Washington'dan L'Hospital kuralı uygulanarak çözülmüş bir sorunun klasik sınav için biraz zorlaştırılmış uyarlaması:

eşitliğini kullanarak limitini hesaplayınız.

ln(x) = y ⇒ x → ∞ ⇒ y → ∞
lim (y → ∞) cos[ ln(y) / y ]....(I)
ln(y) = t ⇒ y = e^t....(II)
(II) dönüşümüne göre y → ∞ ⇒ t → ∞ olup (I) limiti lim (t → ∞) cos[ t / (e^t) ]....(III)
Problemde verilen eşitliğe göre e^t = 1 + t + t^2 / 2 + ... olduğundan (III) limiti
lim (t → ∞) cos[ t / (1 + t + t^2 / 2 + ...) ] =
lim (t → ∞) cos[ 1 / (1 / t + 1 + t / 2 + ...) ] =
cos[ 1 / (0 + 1 + ∞) ] =
cos(1 / ∞) =
cos(0) =
1.

Sorunun Türevli Çözümü:

https://i.ibb.co/vLwfjSP/Washington.png
https://sites.math.washington.edu/~m124/source/Exams/Final/124finalWi23_sol.pdf
(Sayfa 1.c)
Sınavdaki Diğer Sorular: https://sites.math.washington.edu/~m124/source/Exams/Final/124finalWi23.pdf