Çözüldü Limit - Parametrik Fonksiyonlar - Türev (8 Soru)

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/5soru10.jpg
Üniversitelerimizden birinde sorulmuş ama bu forumu takip edebilen lise öğrencilerinin de kolayca yapabileceği problemler.
(Gönderildiği Facebook grubundan silindiği için bağlantı adresi verilemedi.)

Soru - 1
a)
x = 1 noktasında;
Soldan Türev: 2·1 - 2 = 0
Sağdan Türev: -2·1 + 2 = 0
Soldan ve sağdan türevler eşit olmasına rağmen fonksiyon bu noktadaki sıçrama süreksizliği (jump discontinuity) nedeniyle sürekli olmadığından x = 1 noktasında türevi yoktur.

b)
y = ln[ x + √(x^2 + a^2) ]
y' = dy / dx = { 1 + [ x / √(x^2 + a^2) ] } / [ x + √(x^2 + a^2) ] =
[ √(x^2 + a^2) + x ] / { √(x^2 + a^2) ]·[ x + √(x^2 + a^2) ] } =
1 / √(x^2 + a^2)

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(ln[ x + √(x^2 + a^2) ])'
---
Soru - 2
a)
y = t^α ⇒ dy / dt = α·[ t^(α - 1) ]
x = ln(t) ⇒ dx / dt = 1 / t ⇒ dt / dx = t
dy / dx = (dy / dt)·(dt / dx)
dy / dx = α·[ t^(α - 1) ]·t = α·(t^α)
y''(x) = (d / dx)·(dy / dx) = (d / dt)·(dy / dx)·(dt / dx) = { (d / dt)·[ (dy / dt) / (dx / dt) ] } / (dx / dt)
y''(x) = { (d / dt)·[ α·(t^α) ] } / (1 / t) =
(α^2)·[ t^(α - 1) ] / (1 / t) =
(α^2)·[ t^(α - 1) ]·t =
(α^2)·[ t^(α - 1 + 1) ] =
(α^2)·(t^α)

α = 3 için WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=e2e282a0d30a19b54a593fff2200eaf3

b)
y = f(x) = x^2 - 7x + 13 parabolünün (a, b) noktasındaki teğetinin eğimi f '(a) = 2a - 7 = -5 ⇒ a = 1
b = 1^2 - 7·1 + 13 = 7
(1, 7) noktasındaki;
Teğet Denklemi: y - 7 = -5(x - 1) ⇒ y = -5x + 12
Normal Denklemi: y - 7 = (1 / 5)(x - 1) ⇒ y = (x + 34) / 5
---
Soru - 3
A(x, -4x^2)
Doğruyla parabolün kesişme noktalarının apsislerini veren denklem x - 2 = -x^2 olup (x + 2)(x - 1) = 0
x1 = -2 ⇒ y1 = -4, B(-2, -4)
x2 = 1 ⇒ y2 = -1, C(1, -1)
Alan(∆ABC) = S(x) = (1 / 2)·[ x(-4 + 1) + (-2)(-1 + 4x^2) + 1(-4x^2 + 2) ]
S(x) = (1 / 2)·(-12x^2 - 3x + 4)
s'(x) = (1 / 2)·(-24X - 3) = 0 ⇒ x = -1 / 8
s''(x) = -24 < 0 olduğundan fonksiyonun bir maksimumu vardır.
Maksimum[ Alan(∆ABC) ] = S(-1 / 8) = (1 / 2)·| -12·[ (-1 / 8)^2 ] - 3(-1 / 8) + 4 | =
(1 / 2)·|-12 / 64 + 3 / 8 + 4| = (1 / 2)·(67 / 16) =
67 / 32 birim^2
---
Soru - 4
a)
y = f(x) = x^4 - 6x^2 + 12
f '(x) = 4x^3 - 12x = 4x(x^2 - 3) = 4x(x - √3)(x + √3)
Ekstremum noktaların apsisleri x1 = 0, x2 = -√3, x3 = √3
x < -√3 için f(x) < 0
-√3 < x < 0 için f(x) > 0
0 < x < √3 için f(x) < 0
√3 < x için f(x) > 0
Olduğundan (tablosunu da yaparak görmek ilgilenen öğrencilere ödev);
f(0) = 12
f(∓√3) = 3
Maksimum Nokta: (0, 12)
1. Minimum Nokta: (-√3, 3)
2. Minimum Nokta: (√3, 3)

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=local extrema f(x)=x^4-6x^2+12

b)
Tabloya göre;
x < -√3 için f(x) < 0, azalan
-√3 < x < 0 için f(x) > 0, artan
0 < x < √3 için f(x) < 0, azalan
√3 < x için f(x) > 0, artan

c)
f ''(x) = 12x^2 - 12 = 0 ⇒ x = ∓1 ve fonksiyon çift yani y eksenine göre simetrik olduğundan;
x < -1 için f''(x) > 0 olup çukurluk yönü yukarı doğrudur ve konvekstir (dışbükeydir).
-1 < x < 1 için f ''(x) < 0 olup f''(x) < 0 olup çukurluk yönü aşağı doğrudur ve konkavdır (içbükeydir).
x > 1 için f ''(x) > 0 olup çukurluk yönü yukarı doğrudur ve konvekstir (dışbükeydir).

d)
İki tane büküm (dönüm) noktası vardır.
f ''(x) = 12x^2 - 12 = 0 ⇒ x = ∓1 büküm noktalarının apsisleridir.
f(∓1) = 1 - 6 + 12 = 7 büküm noktalarının ordinatlarıdır.

Kaynak: https://www.bilgicik.com/yazi/turevin-geometrik-yorumu-2/
---
Soru - 5

a)
lim (x → ∞) [ sin(1 / x) ] / arctan(1 / x) = 0 / 0 belirsizliği nedeniyle L'Hospital Kuralı uygulanabilir.
lim (x → ∞) (-1 / x^2)·cos(1 / x) / [ (-1 / x^2) / (1 + 1 / x^2) ] =
lim (x → ∞) cos(1 / x) / (1 + 1 / x^2) = cos0 / (1 + 0) = 1 / 1 = 1

Türevsiz Çözüm:
y = 1 / x değişken dönüşümüyle;
lim (y → 0) sin(y) / arctan(y) = lim (y → 0) { [ y·sin(y) ] / y } / { [ y·arctan(y) ] / y } =
lim (y → 0) { [ sin(y) ] / y } / { [ arctan(y) ] / y } = 1 / 1 = 1

Kaynak:
https://www.math.tamu.edu/~mpilant/math646/HW/hw4/solutions.pdf
https://math.stackexchange.com/questions/121721/limit-of-arctanx-x-as-x-approaches-0/121726

b)
lim (x → 0) [ ln(x) ] / cot(x) = -∞ / ∞ belirsizliği nedeniyle L'Hospital Kuralı uygulanabilir.
lim (x → 0) (1 / x) / { -1 / [ sin(x) ]^2 } =
-lim (x → 0) { [ sin(x) ]^2 } / x =
-lim (x → 0) { [ sin(x) ] / x }·sin(x) =
-1·sin(0) = -1·0 = 0

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim log(x)/cot(x) as x goes to 0