Çözüldü Limit - Türev - Fonksiyon (7 Soru)

http://i1038.photobucket.com/albums/a470/hdbalzac/Questions and-or Solutions/Kark.png
http://prntscr.com/9ejdma
1. ve 2. Sorular:

http://i1038.photobucket.com/albums/a470/hdbalzac/Questions and-or Solutions/Kark.png
---
3. Soru:
Tanım kümesindeki her elemanın (x değerleri) Değer Kümesinde (y değerleri) yalnız ve yalnız bir karşılığı varsa fonksiyon "birebir"dir. Ama y = x^2 fonksiyonunda ∓x için y daima aynı x^2 değerini almaktadır. Yani x = -2 için de x = 2 içinde aynı y = 4 değeri olduğundan fonksiyon bire-bir değildir. x eksenine paralel bir doğru fonksiyonu birden fazla noktada kesiyorsa fonksiyon birebir değildir. Örneğin y = 4 doğrusu y = x^2 fonksiyonunu x = ∓2 noktalarında kestiği için birebir değildir.
---
4. Soru:
I. Çözüm (Türev - L'Hopital Kuralı ile):
lim (x → 0) [ 1 - (cosx)^2 ] / x^2 = lim (x → 0) sin2x / 2x = 1

II. Çözüm (Trigonometrik Dönüşümle):
lim (x → 0) [ 1 - (cosx)^2 ] / x^2 = lim (x → 0) (sinx)^2 / x^2 = lim (x → 0) (sinx / x)^2 = 1^2 = 1

III. Çözüm (Kuvvet Serisine açarak):
(cosx)^2 Taylor Serisine açılırsa 1 - x^2 + x^4/3 - (2x^6) / 45 + x^8 / 315 - ...
lim (x → 0) [ 1 - (cosx)^2 ] / x^2 =
lim (x → 0) (l - 1 + x^2 - x^4/3 + (2x^6) / 45 - x^8 / 315 + ...) / x^2 =
lim (x → 0) 1 - x^2/3 + (2x^4) / 45 - x^6 / 315 + ... = 1
---
5. Soru:
lim (x → 3) (x^2 + cos(x) + 1 / x + 3^x) = 9 + cos(3) + 1 / 3 + 27 = 109 / 3 + cos(3)

WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim (x^2 + cos(x) + 1 / x + 3^x) as x goes to 3
---
6. Soru:
f(x) = 3x - 2 ⇒ [ 2 + f(x) ] / 3 = x ⇒ f^(-1)(x) = (x + 2) / 3 = x / 3 + 2 / 3 ⇒ [ f^(-1)(x) ]' = 1 / 3

Ek Bilgi: http://www.matematiktutkusu.com/for...ir-fonksiyonun-ters-fonksiyonunun-turevi.html
---
7. Soru:
f(x) = arctan(cos(x))
f '(x) = -sinx / [ 1 + (cosx)^2 ] veya
cos2x = 2[ cos(x)^2 ] - 1 ⇒ cos(x)^2 = (1 + cos2x) / 2 olduğundan;
f '(x) = -sinx / { 1 + [ (1 + cos2x) / 2 ] } = -2sinx / (3 + cos2x)

WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=arctan(cos(x))'=