Çözüldü Limit ve Süreklilik - Mutlak Değer - Trigonometri - İki Bilinmeyenli Denklem Çözümü (3 Soru)

https://i.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/limit311.png
https://www.facebook.com/photo/?fbi....1379364486147400&idorvanity=1197104801040037

lim (x → -∞) { [ x^(4a - 1) ] / x^(3a + 4) ] }·lim (x → -∞) { [ 1 + x^(1 - 4a) ] / [ 1 + 2·x^(-3a - 4) ] } = b
lim (x → -∞) { [ x^(4a - 3a) ] / (x^5) }·(1 + 0) / (1 + 2·0) = b
lim (x → -∞) [ (x^a) / (x^5) ]·1 = b
lim (x → -∞) x^(a - 5) = b ∈ R olabilmesi için 0 ≤ a ≤ 5 olması gerekir yani Σa = 0 + 1 + ... + 5 = 15.
---

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/limit512.png
https://www.facebook.com/photo/?fbi....1379367339480448&idorvanity=1197104801040037
(13 Numaralı Soru)

Süreklilik için soldan ve sağdan limitlerin, fonksiyonun o noktadaki görüntüsüne eşit olması gerektiğinden;
lim [ x → 0^(-) ] f(x) = lim [ x → 0^(+) ] f(x) = lim (x → 0) [ 4 / (x + 2) ]·[ x / tan(x) ] = 2·1 = 2
f(0) = 3a - 1 = 2 ⇒ a = 3 / 3 = 1.
---

https://i.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/limit411.png
https://www.facebook.com/photo/?fbi....1379367339480448&idorvanity=1197104801040037
(14 Numaralı Soru)

x < 1 ⇒ x - 2 < 0 ve |x - 2| = -(x - 2) = 2 - x
lim [ x → 1^(-) ] f(x) = lim (x → 1) [ (2 - x) + a ] = 1 + a...(I)
lim [ x → 1^(+) ] f(x) = lim (x → 1) (bx + 3) = b + 3....(II)
(I) ve (II) limit değerlerinin eşit olması gerektiğinden 1 + a = b + 3 ⇒ a - b = 2....(III)
lim [ x → 3^(-) ] f(x) = lim (x → 3) (bx + 3) = 3b + 3....(IV)
lim [ x → 3^(+) ] f(x) = lim (x → 3) [ a·sin(π·x / 6) + 5 ] = a·sin(π / 2) + 5 = a·1 + 5 = a + 5....(V)
(IV) ve (V) limitleri de aynı sebeple eşit olacağından 3b + 3 = a + 5 ⇒ a - 3b = -2....(VI)
(III) ve (VI) numaralı iki bilinmeyenli denklem sisteminin çözümü için taraf tarafa çıkarılma yapılırsa;
2b = 4 ⇒ b = 2....(VII)
(VII) değeri (III)'te veya (VI)'da kullanılıp a = 4....(VIII)
(VIII) ve (VII) toplanarak a + b = 4 + 2 = 6.