Çözüldü Limitte Cebirsel Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma - Türevin Limit Tanımı

Koç Üniversitesi'nden çözümlü bir sorunun fen lisesi için klasik sınav uyarlaması:

lim (x → 0) [ (1 + x)^106 - 1 ] / x limitini "L'Hospital Kuralı"nı veya "Türevin Limit Tanımı"nı kullanmadan bulunuz.

a^106 - b^106 = (a^53 - b^53)(a^53 + b^53) = (a - b)(a^52·b^0 + a^51·b^1 + ... + a^1·b^51 + a^0·b^52)(a^53 + b^53)
a^106 - b^106 = (a - b)(a^52 + a^51·b + ... + a·b^51 + b^52)(a^53 + b^53) eşitliğinde a = 1 + x ve b = 1 yazılınca;
(1 + x)^106 - 1 = (1 + x - 1)[ (1 + x)^52 + (1 + x)^51 + ... + 1 ][ (1 + x)^53 + 1^53 ] =
x·[ (1 + x)^52 + (1 + x)^51 + ... + 1 ][ (1 + x)^53 + 1 ] olduğundan limit,
lim (x → 0) x·[ (1 + x)^52 + (1 + x)^51 + ... + 1 ][ (1 + x)^53 + 1 ] / x =
lim (x → 0) [ (1 + x)^52 + (1 + x)^51 + ... + 1 ][ (1 + x)^53 + 1 ] =
53·1·(1 + 1)
53·2 =
106.

Sorunun Aslı ve Türevin Limit Tanımıyla Çözümü:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/ku12.png
https://mysite.ku.edu.tr/emengi/wp-content/uploads/sites/323/2023/04/Spring2015M1.pdf
[ Sayfa 4, Soru 2.(d) ]