Çözüldü Lineer Trigonometrik Denklemlerde Çözüm Koşulu

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/trigo101.png
https://ogmmateryal.eba.gov.tr/panel/upload/files/xpc2ilnbmen.pdf
(Sayfa 3, Soru 13)

Çözüm - 1:
Her terim (a^2 + b^2)^0,5 ile bölünürse;
{ a / [ (a^2 + b^2)^0,5 ] }·sin(x) + { b / [ (a^2 + b^2)^0,5 ] }·cos(x) = c / (a^2 + b^2)^0,5
sin(θ) = a / [ (a^2 + b^2)^0,5 ] ve cos(θ) = b / [ (a^2 + b^2)^0,5 ] değişken dönüşümleriyle,
[ sin(θ) ]·sin(x) + [ cos(θ) ]·cos(x) = c / (a^2 + b^2)^0,5
cos(x - θ) = c / (a^2 + b^2)^0,5
k ∈ Z olmak üzere x - θ = 2π·k + arccos[ c / (a^2 + b^2)^0,5 ]
x = 2π·k + arccos[ c / (a^2 + b^2)^0,5 ] + arctan(a / b) eşitliğinde -1 ≤ c / (a^2 + b^2)^0,5 ≤ 1 olması gerektiğinden,
c / (a^2 + b^2)^0,5 ≤ 1 ⇒ c ≤ (a^2 + b^2)^0,5 ⇒ c^2 ≤ a^2 + b^2.

Çözüm - 2:
sin(x) = [ 2·tan(x / 2) ] / { 1 + [ tan(x / 2) ]^2 } ve cos(x) = { 1 - [ tan(x / 2) ]^2 } / { 1 + [ tan(x / 2) ]^2 } dönüşümleriyle;
(b + c)·{ [ tan(x / 2) ]^2 } - 2a·[ tan(x / 2) ] - (b - c) = 0 ikinci derece denkleminden yarım diskriminant yazılırsa;
Δ' = (-a)^2 - (b + c)·[ -(b - c) ] ≥ 0 koşulu gereğince a^2 + b^2 - c^2 ≥ 0 ⇒ c^2 ≤ a^2 + b^2.

Not:
Normal bir test sorusu olması için -1 ≤ sin(x) ≤ 1 ⇒ -a ≤ a·sin(x) ≤ a ve aynı şekilde -b ≤ b·cos(x) ≤ b eşitsizlikleri yazılıp taraf tarafa toplanarak -(a + b) ≤ c ≤ a + b olacağından c ≤ a + b veya a + b + c ≥ 0 şartlarından biri şıklara yazılmalıydı.