Çözüldü Logaritmalı Kısmi İntegrasyon ve Trigonometrik İntegrasyon (2 Soru)

∫ (x^2)·ln[ (1 + x) / (1 - x) ] dx = ?
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=3508066922553577&set=g.1174585619345646&type=1&theater&ifg=1
(2 Numaralı soru)
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

∫ (x^2)·ln[ (1 + x) / (1 - x) ] dx = ∫ (x^2)·ln(1 + x) dx - ∫ (x^2)·ln(1 - x) dx
Birinci ve ikinci integrandlar için ∫ udv = u·v - ∫ vdu kısmi integrasyon uygulanmak üzere;
u1 = ln(1 + x) ⇒ du1 = dx / (1 + x)
dv1 = dv2 = (x^2)dx ⇒ v1 = v2 = (x^3) / 3
u2 = ln(1 - x) ⇒ du2 = dx / (1 - x)

[ (x^3) / 3 ]·ln(1 + x) - (1 / 3)·∫ (x^3)dx / (x + 1) =
[ (x^3) / 3 ]·ln(1 + x) - (1 / 3)·∫ [ x^2 - x + 1 - 1 / (x + 1) ] dx =
[ (x^3) / 3 ]·ln(1 + x) - (1 / 3)·[ (x^3) / 3 - (x^2) / 2 + x - ln(x + 1) + c1
[ (x^3) / 3 ]·ln(1 + x) - (x^3) / 9 + (x^2) / 6 - x / 3 + (1 / 3)·ln(x + 1) + c1....(I)

[ (x^3) / 3 ]·ln(1 - x) - (1 / 3)·∫ (x^3)dx / (x - 1) =
[ (x^3) / 3 ]·ln(1 - x) - (1 / 3)·∫ [ x^2 + x + 1 + 1 / (x - 1) ] dx =
[ (x^3) / 3 ]·ln(1 - x) - (1 / 3)·[ (x^3) / 3 + (x^2) / 2 + x + ln(x - 1) + c2
[ (x^3) / 3 ]·ln(1 - x) - (x^3) / 9 - (x^2) / 6 - x / 3 - (1 / 3)·ln(x - 1) + c2....(II)

(I) - (II) yazılırsa (yani taraf tarafa çıkarılırsa);
[ (x^3) / 3 ]·ln(1 + x) - (x^3) / 9 + (x^2) / 6 - x / 3 + (1 / 3)·ln(x + 1) + c1 - [ (x^3) / 3 ]·ln(1 - x) + (x^3) / 9 + (x^2) / 6 + x / 3 + (1 / 3)·ln(x - 1) - c2 =
[ (x^3) / 3 ]·ln[ (1 + x) / (1 - x) ] + 2(x^2) / 6 + (1 / 3)·ln(x^2 - 1) + c1 - c2
[ (x^3) / 3 ]·ln[ (1 + x) / (1 - x) ] + (x^2) / 3 + (1 / 3)·ln(x^2 - 1) + c1 - c2
(1 / 3)·{ (x^3)·ln[ (1 + x) / (1 - x) ] + x^2 + ln(1 - x^2) } + c

WolframAlpha (WA) Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate (x^2)log( (1+x)/(1-x) ) dx
Not: WA, ikinci logaritmalı terimi açık bırakmış ama sonucu olabildiğince basitleştirmek esastır.
---
∫ [ (sinx)^3 ] dx / [ 1 + (cosx)^2 ] = ?
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=3508066922553577&set=g.1174585619345646&type=1&theater&ifg=1
(3 Numaralı soru)
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

∫ (sinx)[ 1 - (cosx)^2 ] dx / [ 1 + (cosx)^2 ] intgralinde u = cosx ⇒ du = -sinxdx değişken dönüşümüyle integralin yeni durumu;
∫ (u^2 - 1) du / (u^2 + 1) = ∫ [ 1 - 2 / (u^2 + 1) ] du = u - 2arctan(u) + c ve x değişkenine geri dönülürse;
cosx - 2arctan(cosx) + c

WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate (sin(x))^3 dx / (1 + (cos(x))^2)