Çözüldü Modüler Aritmetik (3 Soru)

Başka bir çözüm:









ve şeklinde iki tanedir.

Sayın Bora Hocamızın çözümü işmageshack.us'den silinmiş olduğu için;
2009^2009 ≡ y(mod 2010)....(I)
2011^2011 ≡ z(mod 2010)....(II)
(I) ve (II) denklikleri taraf tarafa çıklarılırsa;
2009^2009 - 2011^2011 ≡ (y - z)(mod 2010)....(III)

2009 ≡ 2009(mod 2010)....(IV)
x^2 = (x - 1)(x + 1) + 1 olduğundan;
2009^2 ≡ 1(mod 2010)
(2009^2)^1004 ≡ (1^1004)(mod 2010)....(V)

(IV) ve (V) denklikleri taraf tarafa çarpılırsa 2009^2009 ≡ 2009(mod 2010) ve (I) denkliği nedeniyle y = 2009....(VI)

2011 ≡ 1(mod 2010)
2001^2011 ≡ 1(mod 2010) ve (II) denkliğine göre z = 1....(VII)

(VI) ve (VII) değerleri (III) denkliğinde yerlerine yazılırsa 2009^2009 - 2011^2011 ≡ (2009 - 1)(mod 2010) ve
2009^2009 - 2011^2011 ≡ 2008(mod 2010) bulunur.