Çözüldü Modüler Aritmetik - Denklik

https://i.ibb.co/SRNLhP5/Moduler-Aritmetik.png
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=556353891555581&set=gm.1556033321200872&type=3&theater&ifg=1 (Sayın Erol Gedikli Hoca'nın kısa çözümü)
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için sorunun aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

x^2 + y^2 ≡ 9(Mod 11)....(I)
x·y ≡ 3(Mod 11) ⇒ 2(x·y) ≡ (2·3)(Mod 11) ≡ 6(Mod 11)....(II)
x + y ≡ k(Mod 11) ⇒ (x + y)^2 = x^2 + 2(x·y) + y^2 ≡ [ (k)^2 ](Mod 11)....(III)
(III) - (II) yazılırsa; x^2 + y^2 ≡ (k^2 - 6)(Mod 11)....(IV)
(I) ve (IV) denkliklerinin sol tarafları eşit olduğundan 9(Mod 11) ≡ (k^2 - 6)(Mod 11) ⇒ k^2 = 15 ⇒ k = √15 < 4 ⇒ 1 ≤ k ≤ 3 olur.

k = 1 için x + y ≡ 1(mod 11) denkliğini sağlamak üzere;
x + y = {12}
x = {11, 10, ..., 1}
y = {1, 2, ..., 11}
x·y = {11, 20,27, 32, 35, 36} kümesinin hiçbir elemanı x·y ≡ 3(Mod 11) denkliğini sağlamaz.

k = 2 için x + y ≡ 2(mod 11) denkliğini sağlamak üzere;
x = {12, 11, ..., 1}
y = {1, 2, ..., 12}
x + y = {13}
x·y = {12, 22, 30, 36, 40, 42} kümesinin elemanlarından sadece 36 = 9·4 iki denkliği de sağlar ve k = 2 bulunur.

Not:
k = 3 için x + y ≡ 3(mod 11) denkliğini sağlamak üzere;
x = {13, 12, ..., 1}
y = {1, 2, ..., 13}
x + y = {14}
x·y = {13, 24, 33, 40, 45, 48, 49} kümesinin hiçbir elemanı x·y ≡ 3(Mod 11) denkliğini sağlamaz.