Çözüldü Mutlak Değer Fonksiyonu Eşitsizlikleri - Doğrunun Analitiği - Hiperbol

|x - y| ≤ m ve |x·y| ≤ n eşitsizliklerinin grafikle çözümü:

|x - y| ≤ m eşitsizliğinden;
-m ≤ x - y ≤ m
m ≥ -x + y ≥ -m
m + x ≥ y ≥ x - m eşitsizliği birbirine paralel y = x + m ve y = x - m doğruları arasındaki (doğruların üzerindeki noktalar dahil) alandır.

|x·y| ≤ n eşitsizliğinden;
-n ≤ x·y ≤ n
-n / x ≤ y ≤ n / x eşitsizliği;
y = x doğrusunun (I. Açıortay) simetri ekseni olduğu ve orijine göre simetrik y = n / x hiperbol çiftiyle,
y = -x doğrusunun (II. Açıortay) simetri ekseni olduğu ve orijine göre simetrik y = -n / x hiperbol çiftinin arasındaki (hiperboller üzerindeki noktalar dahil) alandır.

Problemde verilen iki eşitsizliğin ortak çözüm kümesi üç durum için vardır:
(I) m > n ise hiperbollerin orijine en yakın oldukları dört nokta y = x ∓ m doğruları arasındadır ve bu doğrularla y = ∓n / x hiperbolleri yine orijine göre simetrik dört çift nokta olmak üzere toplam 8 noktada kesişirler ve çözüm kümesi de bu noktalarla, hiperboller ve doğrular arasındaki bölgedir. Örnek olarak m = 8 ve n = 6 için grafik;

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/mutlak14.png

(II) m = 2√n ise y = x + m doğrusuyla y = -n /x hiperbolü teğettir ve değme noktalarının apsislerini veren ortak denklem x + m = -n / x eşitliğinden x^2 + m·x + n = 0 olup teğetlik için diskriminant sıfıra eşitlenip Δ = m^2 - 4n = 0 ⇒ m = 2√n bulunur ve çözüm kümesi de doğrularla hiperboller arasındaki bölgedir. Örnek olarak m = 2√6 ve n = 6 için grafik;

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/mutlak15.png

(III) m < n ise hiperbollerin orijine en yakın oldukları dört noktadan y = x üzerindeki iki tanesi y = x ∓ m doğrularının arasındadır ve bu doğrularla sadece y = n / x hiperbolü yalnız 4 noktada kesişirler ve çözüm kümesi de doğrularla y = n / x arasındaki bölgedir. Örnek olarak m = 4 ve n = 6 için grafik;

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/mutlak16.png