Çözüldü Noktanın ve Doğrunun Analitiği - Trigonometri - Vektörler ve Determinantlar (YKS'de Yok)

Brown University'den çözümlü bir problemin fen lisesi için klasik sınav uyarlaması:

Köşelerinin koordinatları (0, -2), (6, -1), (-3, 1), (3, 2) olan paralelkenarın alanını vektörlerden yararlanarak determinant ile hesaplayınız ve sonucu analitik düzlemde köşeleri bilinen üçgenin alanına bağlı olarak ve ayrıca üçgende trigonometrik alan bağıntısıyla doğrulayınız.


https://i.ibb.co/KDTTNHC/Brown.png
https://sites.brown.edu/drpeyam/math3a/
(14 Numaralı "Applications of Determinants" dosyası)

Köşe koordinatları (x1, y1), /x2, y2), (x3, y3) olan üçgenin alanı = (1 / 2)·|x1·(y2 - y3) + x2·(y3 - y1) + x3·(y1 - y2)|
Köşeleri (6, -1), (-3, 1), (3, 2) olan üçgenin alanı = (1 / 2)·|6·(1 - 2) + (-3)·[ 2 - (-1) ] + 3·(-1 - 1)| = 21 / 2 birim^2
Simetri nedeniyle paralelkenarın alanı = 2·(21 / 2) = 21 birim^2.

(-3, 1) ve (0, -2) noktalarından geçen doğrunun denklemi: y = -x - 2
(6, -1) ve (0, -2) noktalarından geçen doğrunun denklemi: y = x / 6 - 2
Bu iki doğru arasındaki açı: arctan{ (-1 - 1 / 6) / [ 1 + (-1)(1 / 6) ] } = -arctan(7 / 5) ⇒ sin[ -arctan(7 / 5) ] = -7 / √74
(-3, 1) ve (0, -2) noktaları arasındaki uzaklık: 3·√2 birim
(6, -1) ve (0, -2) noktaları arasındaki uzaklık: √37 birim
Köşeleri (6, -1), (-3, 1), (3, 2) olan üçgenin alanı = (1 / 2)·(3·√2)·(√37)·|-7 / √74| = 21 / 2 birim^2
Paralelkenarın Alanı = 2·(21 / 2) = 21 birim^2.