Çözüldü Noktanın ve Doğrunun Analitiği - Türev - Dik Üçgende Öklit Bağıntıları

University of Notre Dame'dan çözümlü bir sorunun biraz zorlaştırılmış AYT uyarlaması:

x + y + 1 = 0 doğrusunun orijine en yakın uzaklığının çap olduğu merkezil çemberle doğru arasındaki alan kaç birim karedir?
A) (8 + π) / 4
B) (8 - π) / 2
C) (4 - π) / 8
D) (3 + π) / 3
E) (5 - π) / 2

Köşeleri (-1, 0) ile (0, 1) noktaları ve orijin olan ikizkenar dik üçgenin hipotenüsüne ait h yüksekliği Öklit Bağıntısından,
1 / h^2 = 1 / (1^2) + 1 / (1^2) ⇒ h = 1 / √2 birim.
Aranan Alan = 2·[ Dik Kenarları 1 Birim Olan İkizkenar Dik Üçgenin Alanının Yarısı - (1 / √2 Birim Yarıçaplı Daire Alanı) / 8 ]
Aranan Alan = 2·{ (1 / 2)·[ (1·1) / 2 ] - [ π·(1 / √2)^2 / 8 ] } = (4 - π) / 8 birim^2.

Not:
En yakın noktanın koordinatları ve o noktanın orijine uzaklığı iki farklı şekilde daha bulunabilir;
Birinci Yol
(Bir doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını veren formül ve Pisagor Teoremi ile)
Noktanın Apsisi = (-1 + 0) / 2 = -1 / 2, Ordinatı = [ 0 + (-1) ] / 2 = -1 / 2,
[ (-1 / 2)^2 + (-1 / 2)^2 ]^0,5 = 1 / √2 birim
İkinci Yol
(Orijinin x + y + 1 = 0 doğrusuna olan uzaklığını veren formülle)
(0·1 + 0·1 + 1) / (1^2 + 1^2)^0,5 = 1 / √2 birim

Sorunun Aslı ve Çözümü:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/nd11.png
https://www3.nd.edu/~apilking/Math10550/Work/OLd Exams/exam3F07solutions.pdf
(Sayfa 3 - 4, Soru 12)