Çözüldü Öğretmen Sınavı (2012) (3 Soru)

Sayın Cem Hocamız'ın sorularını şöyle yapmaya çalıştım:

Soru - 1:












WolframAlpha Kontrolu (Sonuç Radyan Olarak):

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/wa11.png
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate (x+cos(x))/(1+sin^2(x))dx from x=-pi/6 to pi/6 =
https://www.wolframalpha.com/input?i=2arctan(1/2)

Notlar:
1. f(-x) = -f(x) ise f(x) tek fonksiyondur.
http://mathworld.wolfram.com/OddFunction.html
2. Kırmızı renkli ifade tek fonksiyon olduğundan a > 0 olmak üzere [-a, a] aralığında tek fonksiyonların integrali sıfırdır.
https://proofwiki.org/wiki/Definite_Integral_of_Odd_Function
---
Soru - 2:
lim (x → 0) (2^cotx)^x = (2^∞)^0 = ∞^0 belirsizliği

A = (2^cotx)^x
ln(A) = x·ln(2^cotx) = x·cotx·ln2
lim (x → 0) [ ln(A) ] = lim (x → 0) x·cotx·ln2 = 0·∞·ln2 = 0·∞ belirsizliğine döner.
lim (x → 0) [ ln(A) ] = (ln2)·lim (x → 0) (x / tanx) = (ln2)·1 = ln2
ln[ lim (x → 0) A ] = ln2
lim (x → 0) A = 2
lim (x → 0) (2^cotx)^x = 2

WolframAlpha Kontrolu:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim (2^cotx)^x as x goes to 0

Not: lim (x → 0) (x / tanx) = 1 limitinin ispatı L'Hospital Kuralı uygulanarak veya aşağıdaki gibi yapılaabilir:
http://www.csun.edu/~ama5348/calculus/presentations/math150a_2_7video.pdf (Sayfa 31 - 34)
---
Soru - 3:
Sayın Cem Hocamız'ın yaptığı değişken dönüşümü çözüm için ideal yaklaşımdır ancak bunun görülememesi halinde şöyle de yapılabilir;

lim (x → 1) [ x·x^(1 / 3) - 1 ] / (x - 1) = 0 / 0 belirsizliği
lim (x → 1) [ x^(4 / 3) - 1 ] / (x - 1) =
lim (x → 1) [ x^(2 / 3) + 1 ]·[ x^(2 / 3) - 1 ] / (x - 1) =
lim (x → 1) [ x^(2 / 3) + 1 ]·[ x^(1 / 3) + 1 ]·[ x^(1 / 3) - 1 ] / (x - 1) =
lim (x → 1) [ x^(2 / 3) + 1 ]·[ x^(1 / 3) + 1 ]·[ x^(1 / 3) - 1 ]·[ x^(2 / 3) + x^(1 / 3) + 1 ] / { (x - 1)·[ x^(2 / 3) + x^(1 / 3) + 1 ] } =
lim (x → 1) [ x^(2 / 3) + 1 ]·[ x^(1 / 3) + 1 ]·(x - 1) / { (x - 1)·[ x^(2 / 3) + x^(1 / 3) + 1 ] } =
lim (x → 1) [ x^(2 / 3) + 1 ]·[ x^(1 / 3) + 1 ] / [ x^(2 / 3) + x^(1 / 3) + 1 ] = (1 + 1)·(1 + 1) / (1 + 1 + 1) = 4 / 3