Çözüldü Permütasyon (2 Soru)

İktibas:

3, 5 ve 7 rakamları yardımıyla oluşturulan tüm 10 basamaklı sayıların kaç tanesinde yan yana gelen üç rakamın toplamı 3'e bölünmez?

A) 1024
B) 1536
C) 2304
D) 3456
E) 7776

mod 3 için 3, 5 ve 7; 0, 2 ve 1 kalanını verdiğinden üç basamaklı bir sayının 3'e tam bölünebilmesi için, ya üçü de aynı yahut farklı olmalıdır.

Buna mukabil olarak 3'e bölünememesi için her xy dizilişinden sonra 3,5 ve 7'den iki tanesi gelebilir. Yâni 35 ise xy, bundan sonraki z rakamı için 5 veya 3 gelebilir. (xyz)

Ve yine meselâ; 33-xy 'sinden sonra z olarak 5 veya 7 gelebilir.

Buna göre (xyzabcdefg) on basamaklısı için çözümü yazarsak; x ve y için 3·3 ve sonrakiler için de herbirine 2 elemandan 2^8 yazılırsa, 9·2^8=9·256=2304 bulunur.

Başka bir soru:

A={2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanlarıyla 5, 7 ve 9 rakamlarından herhangi ikisi yanyana gelmemek üzere, sekiz basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir?

Mükemmel bir çözüm Murat Hocam. Değili'nden...

2. çözüm:
_2_3_4_6_8_ rakamları 5! ile yerleşir. Sonra,

5; bu boş olan 6 yerden birine 6 şekilde: _5_ 2_3_4_6_8_

7; bu boş olan 7 yerden 5'ine gelebilir, 5'in sağına ve soluna gelemez: _5_2_3_4_6_8_7_

9; bu boş olan 8 yerden 4'üne gelebilir, 5 ve 7'nin sağına ve soluna gelemez, sonuç olarak;
5!·6·5·4=6!·20


3. çözüm:
_5_7_9_ biçimde 3! ile yerleşsin. Geriye kalan beş elemanı özdeş kabul edelim ve ikisini kırmızı boşluklara koyalım, böylece 5,7 ve 9'u ayırmış oluruz: _5 X 7 X 9_

Sonra geriye kalan 3 özdeş, var olan dört yere a+b+c+d=3 denkleminin sıfırı da barındıran çözümü sayısınca yerleşir; yâni "tekrarlı kombinasyon" gereği C(4+3-1,3)=C(6,3)=20 eder.

Sonraya, bu özdeşleri farklı kabul ederek (zaten farklı idi) yerlerini değiştirmek kalıyor:
3!·20·5!=6!·20