Çözüldü Pisagor Teoremi - Daire Parçası Alanlar Toplamı - Noktanın ve Doğrunun Analitiği - İntegral

Piyasa sorularından birinin fen lisesi için klasik sınav uyarlaması:

Aşağıdaki alanlar toplamını bulan integral işlemini yazınız (integral alınmayacak):

https://i.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/daire14.png
https://www.facebook.com/photo/?fbi...m.2073453479699821&idorvanity=289690338076153

(2r + 2)^2 + (2r + 4)^2 = (2r + 6)^2 ⇒ r = 2 (denklemi çözmek ilgilenen öğrencilere ödev)
A noktası orijin, [AC] ve [AB] kenarları sırasıyla apsis ve ordinat eksenleri olmak üzere Kartezyen düzleme geçilerek merkezi A, yarıçapı 2 birim olan merkezil çember denklemi x^2 + y^2 = 4, B(0, 6) ve C(8, 0) noktalarından geçen [BC] denklemi: y = -3x / 4 + 6

A noktası etrafındaki boyalı daire parçası alanı:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/a_wa11.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=abs(integrate -sqrt(4 - x^2)dx from x=-2..2)
https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate sqrt(4 - x^2)dx from x=-2..0
2π + π = 3π birim^2....(I)

[BC] kenarıyla x^2 + (y - 6)^2 = 4 çemberinin kesim noktasının apsisi x = 8 / 5

B noktası orijin olmak üzere 6 birim aşağı kaydırıldığında B çevresindeki boyalı daire parçası alanı:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/b_wa10.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=abs(integrate -sqrt(4 - x^2) dx from x=-2..0)
https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate sqrt(4 - x^2) dx from x=-2..2
https://www.wolframalpha.com/input?i=abs(integrate (-3x/4) dx from x=0..8/5)
https://www.wolframalpha.com/input?i=abs(integrate -sqrt(4 - x^2) dx from x=8/5..2)
π + 2π + 24 / 25 - 24 / 25 + π - 2·arcsin(4 / 5) = 4π - 2·arcsin(4 / 5) birim^2....(II)

C noktası orijin olmak üzere 10 birim sola kaydırıldığında C'yi çevreleyen boyalı daire parçası alanı:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/c_wa10.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=abs(integrate -sqrt(4 - x^2) dx from x=-2..2)
https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate (sqrt(4 - x^2) - (-3x / 4)) dx from x=-8/5..0
https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate sqrt(4 - x^2) dx from x=0..2
2π + 2·arcsin(4 / 5) + π = 3π + 2·arcsin(4 / 5) birim^2....(III)

(I), (II), (III) toplanarak toplam boyalı alan = 3π + 4π - 2·arcsin(4 / 5) + 3π + 2·arcsin(4 / 5) = 10π birim^2.

Notlar:
1. Test sınavı için geometri ve trigonometri çözümü https://www.sorumvar.net/frm/konular/pisagor-teoremi-daire-parcasi-alani-trigonometri.13662/ adresindedir.
2. WolframAlpha tüm integral işlemlerini bir arada hesaplamayı beceremediği için mecburen parçalar halinde gösterilmiştir.