Çözüldü Popülasyon Oranı İçin Büyük Örnek Testi - Programlama

Popülasyon Varyansı Bilinmediğinde Popülasyon Ortalamasının Anlamlılık Testidir.

Bir toplumda erkekler arasında sigara içenlerin oranının %60 olduğu bilinmektedir. Sigara içenlerde akciğer kanserine daha sık rastlanılıp rastlanmadığını incelemek isteyen bir araştırıcı akciğer kanseri olan hastalar arasından rastgele seçtiği 200 erkekten 140'ının sigara içtiğini saptamıştır. Acaba sigara içenlerdeki akciğer kanseri oranının daha sık mı görüldüğünü α = 0,01 yanılma olasılığıyla test ediniz.

"İstatistiğe Giriş", Doç.Dr. Halis Püskülcü, Doç.Dr. Fikret İkiz
Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Bilgisayar Bilimleri Mühendisliği Bölümü, 2. Baskı, 1986, Sayfa 164 - 186'teki Örnek 3
(Problemin kitaptaki anlatımı biraz değiştirildi.)

Kontrol edilecek hipotez H0 : p = 0,60 olarak yazılabilir. Araştırılmak istenen, bu oranın artıp artmadığı olduğundan alternatif
hipotez H1 : p > 0,60 şeklindedir.
Örnekten elde edilen sigara içme oranı p̂ = 140 / 200 = 0,70
Standart Hata:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/lagrid44.png
olan normal dağılış gösterir ve z = (p̂ - P0) / [ P0·(1 - P0) / N ]^0,5 ile hesaplanan test istatistiği standart normal dağılıştadır.
(1 - 0,01) - 0,5 = 0,49 değeri z Tablosunda arandığında sol tarafta 2,3 ve üstteki 0,03 değerlerinin kesişiminde olduğundan kritik değer 2,33'tür.
(https://www.zscorecalculator.com/critical-value/ adresinde "Righ-tailed" durumunda daha hassas olarak 2,3263 bulunur.)

Örnekten hesaplanan test istatistiği ise z = (0,70 - 0,60) / 0,0346 = 2,89 > 2,33 yani kritik değerden büyük olduğu için red bölgesine düşer ve H0 sıfır hipotezi reddedilir. Akciğer kanseri olan hastalarda sigara içme oranı normal toplumda olduğundan daha fazladır.

Fortran Çözümü:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/z_hipo10.png

Program:

Kod:

! "Basic Programlama ve İstatistiksel Yöntemler", Dr. Osman Saraçbaşı, Dr. Ergun Karaağaoğlu, Dr. Osman Saka
! Hacettepe Üniversitesi, TIP Fakültesi, Biyoistatistik Bilim Dalı Öğretim Görevlileri" tarafından yazlmış Eylül 1986
! tarihli kitabın 199 - 201 no.lu sayfalarında gösterilen Basic dilindeki programın GOTO ve GOSUB deyimleri kaldırılıp
! olabildiğince yapısallaştırıldıktan sonra gerekli açıklamaları da verilerek yazılmış Fortran versiyonu
!
! Popülasyon Varyansı Bilinmediğinde Popülasyon Ortalamasının Anlamlılık Testi
!
! Bir toplumda erkekler arasında sigara içenlerin oranının %60 olduğu bilinmektedir. Sigara içenlerde akciğer kanserine
! daha sık rastlanılıp rastlanmadığını incelemek isteyen bir araştırıcı akciğer kanseri olan hastalar arasından rastgele
! seçtiği 200 erkekten 140'ının sigara içtiğini saptamıştır. Acaba sigara içenlerdeki akciğer kanseri oranının daha sık mı
! görüldüğünü α = 0,01 yanılma olasılığıyla test ediniz.
!
! "İstatistiğe Giriş", Doç.Dr. Halis Püskülcü, Doç.Dr. Fikret İkiz
! Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Bilgisayar Bilimleri Mühendisliği Bölümü, 2. Baskı, 1986,
! Sayfa 164 - 186'teki Örnek 3
!
! (Problemin kitaptaki anlatımı biraz değiştirildi.)

program z_dagilimi
implicit none

integer         :: N = 200               ! Örnek Sayısı
integer         :: k                     ! Serbestlik Derecesi (N > 30 olduğundan aslında z testinde gereksizdir.)
real            :: P0 = 0.60             ! Populasyonun Bilinen Oranı
real            :: P_sapka = 140.0 / 200 ! Örnekte Gözlenme Oranı
real            :: n1                    ! Örnek Sayısının Gerçel Değeri
real(kind = 8)  :: SH                    ! Örnek Oranının Standart Hatası
real(kind = 8)  :: ZI                    ! Test İstatistiği
real(kind = 8)  :: z0                    ! ABS(TI)
real(kind = 8)  :: tD                    ! z Dağılımı Fonksiyonuyla Hesaplanan Değer
real(kind = 8)  :: p                     ! Hesaplanan Olasılık
real, parameter :: z_Tablo = 2.33        ! α = 0.01 için z tablo değeri

k = N - 1; n1 = REAL(N); SH = SQRT(P0*(1 - P0) / N)
ZI = (P_sapka - P0) / SH; z0 = ABS(ZI); p = tD(z0, k)

write(6, 10)"Hesaplanan Test Istatistigi = ", ZI
write(6, 10)"Ornegin Standart Hatasi = ", SH
write(6, 10)"P Olasiligi (Tek Yonlu) = ", 1 - p
write(6, 10)"P Olasiligi (Iki Yonlu) = ", 2*(1 - p )

if (z0 > z_Tablo) then
   write(6, 15)"H0 : P0 = 0.60 Sifir hipotezi reddedilir."
   write(6, 15)"Akciger kanseri olan hastalarda sigara icme orani normal &
&toplumda oldugundan fazla."  
else  
   write(6, 15)"H0 : P0 = 0.60 Sifir hipotezi reddedilemez. Akciger &
&kanseri olan hastalarda sigara icme oraninın istatistiksel yonden &
&toplumda oldugundan fazla oldugu soylenemez."
endif

10 format(/,3x,a,f11.6,/)
15 format (/,3x,a)

end
!
real(kind = 8) function tD(z0, k)
implicit none
integer, intent(in)        :: k
real(kind = 8), intent(in) :: z0
real(kind = 8)             :: a1 = 0.36338023 ! Kitaptaki programda verilen ve sebebi yazılmamış olan sabit değer
real(kind = 8)             :: w, s, c, t1, t, p
integer                    :: w1, j1, j2, k2, i

w = ATAN(z0 / SQRT(REAL(k))); s = SIN(w); c = cos(w); w1 = k - 2*INT(k / 2)

if (w1 == 0) then
   t1 = s

   if (k == 2) then
      p = 0.5*(1 + t1); tD = p; return
   else    
      t = s; j1 = -1; j2 = 0; k2 = (k - 2) / 2
      do i = 1, k2
         j1 = j1 + 2; j2 = j2 + 2
         t = t*c**2*REAL(j1) / j2; t1 = t1 + t
      enddo
      t1 = t1*(1 - a1*w1); p = 0.5*(1 + t1); tD = p; return
   endif

else
   t1 = w
  
   if (k == 1) then
      t1 = t1*(1 - a1*w1); p = 0.5*(1 + t1); tD = p; return
   else
      t = s*c; t1 = t1 + t
      if (k == 3) then
         t1 = t1*(1 - a1*w1); p = 0.5*(1 + t1); tD = p; return
      else
         j1 = 0; j2 = 1; k2 = (k - 3) / 2
         do i = 1, k2
            j1 = j1 + 2; j2 = j2 + 2
            t = t*c**2*REAL(j1) / j2; t1 = t1 + t
         enddo
         t1 = t1*(1 - a1*w1); p = 0.5*(1 + t1); tD = p; return
      endif
   endif 
 
endif

end function