Çözüldü Seri Karakteri İncelemesi (4 Soru)

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/serile11.png

a)
Cauchy Kök (Root) Testi ve limit kuralı ile; { lim (n → ∞) [ (2n + 1) / (3n + 1) ]^(n / n) }^0,5 olarak yazılırsa;
{ lim (n → ∞) [ (2n + 1) / (3n + 1) ] }^0,5 = √(3 / 3) < 1 olduğundan yakınsak (convergent)
---
b)
İntegral Testi:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/soru_b10.png
---
c)
n artarken bu alterne seride serinin terimleri mutlak değer bakımından azalıyor çünkü ilk altı terim:
1 / 2, 1 / 2, 3 / 8, 1 / 4, 5 / 32, 3 / 32, ...
Ayrıca lim (n → ∞) n·[ cos(π·n) ] / (2^n) limitinde kosinüs fonksiyonu [-1, 1] aralığında değerler aldığından ve L'Hospital Kuralı ile
lim (n → ∞) n / (2^n) = 0 olduğundan ilgili Teorem gereğince seri yakınsak.
---
d)
Karşılaştırma Testi:
Σ (1 / n^2) serisi p = 2 için p serisi olup yakınsaktır ve 1 / n^2 > 1 / [ n·(e^n) ] olduğundan Σ 1 / [ n·(e^n) ] serisi de yakınsaktır.

İntegral Testi ile çözüm olabileceğini düşünmüyorum çünkü ∫dn / [ n·(e^n) ] integrali elemanter işlemlerle alınamaz.

Bunun yerine D'Alembert Oran Testi ile sonuç 1 / e < 1 olduğundan (bunun yapılması ilgilenen öğrencilere ödev) serinin yakınsaklığı kolayca gösterilebilir.