Çözüldü Seri Karakteri (Yakınsaklık veya Iraksaklık) Testleri (3 Soru)

Bulunduğu şehri söyleyecek kadar bile bu siteye güvenmediği halde yardım istemeye gelmiş olduğundan üyeliği silinip dışarı atılmış birinin sorularıydı:

Soru - 1
(Alt sınır n = 1, Üst sınır n = ∞), Σ 1 / [ n·(5^n) ] serisinin karakterinin direkt karşılaştırma testi (direct comparison test) ile belirlenmesi:

Bu seri, yakınsak olduğu bilinen 1 / n^2 serisiyle karşılaştırılırsa 1 / n^2 > 1 / [ n·(5^n) ] olduğundan;
n = 1 ⇒ 1 > 1 / 5
n = 2 ⇒ 1 / 4 > 1 / 50
n = 3 ⇒ 1 / 16 > 1 / 375
...
terimleri 1 / n^2 serisinin terimlerinden daha küçük olan 1 / [ n·(5^n) ] serisi de yakınsaktır.

WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input?i=convergence 1 / (n*5^n)
---
Soru - 2
lim (n → ∞) coth(n) / (n^3) serisinin karakterinin limit karşılaştırma testiyle belirlenmesi:

Yakınsak olduğu bilinen 1 / n^3 serisiyle coth(n) / (n^3) serisi limit karşılaştırma testine alındığında;
lim (n → ∞) [ coth(n) / (n^3) ] / (1 / n^3) = lim (n → ∞) coth(n) = lim (n → ∞) [ e^(2n) + 1 ] / [ e^(2n) - 1 ] = 1 ≠ 0 olduğundan her iki seri de aynı karakterdedir ve bu nedenle de coth(n) / (n^3) serisi yakınsaktır.

WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input?i=convergence coth(n)/n^3
---
Soru - 3
(Alt sınır n = 2, Üst sınır n = ∞), Σ 1 / { n·[ ln(n) ]^2 } serisinin karakterinin integral testiyle belirlenmesi:

f(x) = 1 / { n·[ ln(n) ]^2 } olmak üzere (Alt sınır x1 = 2, Üst sınır x2 = ∞), ∫ f(x) dx =
lim (t → ∞) (Alt sınır x1 = 2, Üst sınır x2 = t), ∫ dx / { x·[ ln(x) ]^2 } =
lim (t → ∞) (Alt sınır x1 = 2, Üst sınır x2 = t), |-1 / ln(x)| =
lim (t → ∞) { -1 / ln(t) - [ -1 / ln(2) ] } =
lim (t → ∞) [ 1 / ln(2) - 1 / ln(t) ] =
1 / ln(2) - 1 / ∞ =
1 / ln(2) - 0 =
1 / ln(2) ∈ R olduğundan (Alt sınır n = 2, Üst sınır n = ∞), Σ 1 / { n·[ ln(n) ]^2 } serisi yakınsaktır.

WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input?i=convergence (sum 1 / [ n*log(n)^2 ], n=2 to infinity)
---
Kaynak: https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calcII/seriescomptest.aspx
---
Soruların Aslı:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/serile13.png
(İkinci soru gönderenin notuna göre değiştirildi.)

Gönderenin Notu: "2.Soru coth(n) / n^3 olacakmış yanlış yazmışım, kusura bakmayın."