Çözüldü Serilerle Limit - L'Hospital Kuralı

Bilkent Üniversitesi Matematik Bölümü'nden sayın hocamız Dr. Okan Tekman'ın Güz / 2022 dönemi sınav sorularından birinin çözümü de değiştirilerek yapılan test uyarlaması:

Yeni geliştirilen bir quantum bilgisayarın açılışından itibaren merkezi işlem birimindeki sıcaklığın saniye cinsinden geçen zamana (t) bağlı değişimi, a gerçel bir katsayı olmak üzere T(t) = [ t·e^(a·t^2) - sin(t) ] / t^5 fonksiyonuyla belirlendiğine göre bu bilgisayarın ilk enerjilendiği andaki CPU sıcaklığı kaç derecedir?
[e^(x) = 1 + x + x^2 / 2 + ... ve sin(x) = x - x^3 / 6 + x^5 / 120 - ... alınacak.]

A) 4 / 23
B) 3 / 50
C) 2 / 75
D) 1 / 180
E) 1 / 220

İlk enerjilenme anındakı sıcaklık lim (t → 0) T(t) = lim (t → 0) [ t·e^(a·t^2) - sin(t) ] / t^5....(I)
e^(a·t^2) = 1 + a·t^2 + a^2·t^4 / 2 + ... ⇒ t·e^(a·t^2) = t + a·t^3 + a^2·t^5 / 2 + ... (II)
sin(t) = t - t^3 / 6 + t^5 / 120 - ... (III)
(II) ve (III) eşitlikleri (I) limitindeki yerlerine yazılıp,
lim (t → 0) (t + a·t^3 + a^2·t^5 / 2 + ... - t + t^3 / 6 - t^5 / 120 + ...) / t^5 =
lim (t → 0) (1 + a·t^2 + a^2·t^4 / 2 + ... - 1 + t^2 / 6 - t^4 / 120 + ...) / t^4 =
lim (t → 0) (a·t^2 + a^2·t^4 / 2 + ... + t^2 / 6 - t^4 / 120 + ...) / t^4 =
lim (t → 0) (a + a^2·t^2 / 2 + ... + 1 / 6 - t^2 / 120 + ...) / t^2....(III) limitinin olabilmesi için;
a + 1 / 6 = 0 ⇒ a = -1 / 6....(IV)
(IV) değeri (III) eşitliğindeki yerine yazılıp sadeleştirilerek limit alınırsa;
(-1 / 6 + 1 / 72 + ... + 1 / 6 - 1 / 120 + ...) / 1 =
1 / 72 - 1 / 120 =
(1 / 12)(1 / 6 - 1 / 10) =
(1 / 12)[ (5 - 3) / 30 ] =
(1 / 6)(1 / 30) =
1 / 80 derece.

Sorunun Aslı ve L'Hospital Kuralı İle Çözümü:

https://i.ibb.co/CzJKtPq/Bilkent.png

Not: Sayın Okan Tekman Hocamız dosyalar için her dönem aynı isimlendirmeyi yaptığından link verilemedi.