Çözüldü Silindirde Hacim ve Yüzey Alanı - Türev

İsmini bulamadığım Kanadalı hayırsever bir matematik öğretmeninin web sitesindeki (https://www.jensenmath.ca/) çözümlü sorulardan birinin AYT için azıcık zorlaştırılmış uyarlaması:

Yarım litre kapasiteli silindirik konserve kutularının kamyonlarla maksimum sayıdaki nakliyeleri için kutuların üretiminde seçilmesi gereken yükseklik ve taban yarıçapına ilişkin aşağıdaki sonuçlardan hangisi doğrudur?

A) Yükseklik cm olarak doğal logaritma tabanının üç katı seçilmelidir.
B) Yarıçap ≤ π cm olmalıdır.
C) Yükseklik yarıçapın iki katı seçilmelidir.
D) Yarıçap yüksekliğin 1,5 katı seçilmelidir.
E) Birbirlerine eşit olmaları yeter.

Konserve kutularının cm olarak yükseklik ve taban yarıçapları sırasıyla h ve r
Hacim: V = 0,5 Litre = 500 mililitre = π·r^2·h ⇒ h = 500 / (π·r^2)....(I)
Hacim sabitliğinden dolayı en büyük sayıda konserve kutusunun birlikte taşınabilmesi için kutuların birim yüzey alanının (S) minimum olması sağlanmalıdır.
S = 2π·r^2 + 2π·r·h....(II)
(I) eşitliği (II)'deki yerine yazılıp sadeleştirilirse;
S = 2π·r^2 + 1000 / r ⇒ dS / dr = 4π·r - 1000 / r^2= 0 ⇒ r = 10 / (4π)^(1 / 3)....(III) ⇒ r^2 = 100 / (16·π^2)^(1 / 3)....(IV)
(IV) eşitliği (I)'e götürülüp h = 500 / { π·[ 100 / (16·π^2)^(1 / 3) ] } = (5 / π)·(16·π^2)^(1 / 3)....(V)
Seçeneklere göre (bakılmasa da olur); (V) ve (III) taraf tarafa bölününce;
h / r = (5 / π)·(16·π^2)^(1 / 3) / [ 10 / (4π)^(1 / 3) ] = [ 1 / (2π) ]·4π = 2 yani yükseklik yarıçapın iki katı seçilmelidir.

Sorunun Aslı ve Hesap Makinesi Gerektiren Çözümü:
"A manufacturing company is responsible for designing a 500 mL can for diced tomatoes. Determine the dimensions of the can that will minimize the surface area of the can."

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/konser10.png
https://static1.squarespace.com/static/61de416a3e2596709a9237f6/t/61eb6a45795a1911a5ce9dfa/1642818117708/Calculus Midterm Exam Review Jensen.pdf (Sayfa 3, Soru 24.a)
Çözüm: https://static1.squarespace.com/static/61de416a3e2596709a9237f6/t/61eb6a53821a956c195081b9/1642818132429/Calculus Midterm Exam Review Jensen SOLUTIONS.pdf (Sayfa 18)