Çözüldü Tam Diferansiyel Denkleme veya Bernoulli Tipinden Birinci Mertebe Lineer Diferansiyel Denkleme Dönüş

Yine üniversitelerimizin birindeki dandik sorulardan:

https://i.ibb.co/MDTHB4q/difdenklem.png
https://www.facebook.com/photo/?fbi...m.1921394631572374&idorvanity=289690338076153
https://www.facebook.com/photo/?fbi...m.2071457183246447&idorvanity=756598921398953

Tam (Exact) Diferansiyel Denkleme Dönüşümle Çözüm:
M = x^3 + y^2 + x ⇒ ∂M / ∂y = 2y
N = x·y ⇒ ∂N / ∂x = y
(∂N / ∂x - ∂N / ∂y) / (-N) = (y - 2y) / (-x·y) = 1 / x
Aranan integrasyon çarpanı x değişkenine bağlı µ(x) gibi bir fonksiyon olacağından ∂ln(µ) / ∂x = 1 / x ⇒ µ = x ile denklemin tüm terimleri çarpıldığında (x^4 + y^2·x + x^2)dx + x^2·ydy = 0 olarak tam diferansiyel tipe döner çünkü artık ∂M / ∂y = ∂N / ∂x = 2xy eşitliği sağlanmıştır ve genel çözüm de a, b, c, c1, c2 ∈ R olmak üzere;







u(x,y) = x^5 / 5 + x^2·y^2 / 2 + x^3 / 3 - a^5 / 5 - a^2·y^2 / 2 - a^3 / c + a^2·y^2 / 2 - a^2·b^2 / 2 = c
u(x,y) = x^5 / 5 + x^2·y^2 / 2 + x^3 / 3 = c + a^5 / 5 + a^3 / 3 + a^2·b^2 / 2
u(x,y) = x^5 / 5 + x^2·y^2 / 2 + x^3 / 3 = c2 <===== Aslında bu sonuç yeter ama WolframAlpha da beğensin diye devam edilerek,
y^2 = (30c2 - 6x^5 - 10x^3) / (15x^2)
y = ∓{ [ c1 - 2x^3(3x^2 + 5) ]^0,5 } / [ (√15)·x ].

WolframAlpha Kontrolu:

https://i.ibb.co/6WGP6Ys/difdenklem-WA.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=(x^3+y^2+x)dx+xydy=0

Bernoulli Tipinden Birinci Mertebe Lineer Diferansiyel Denkleme Dönüşümle Çözüm:
Denklem;
(x^2 + 1) / y + y / x + dy / dx = 0
dy / dx + (1 / x)·y = -(x^2 + 1)·[ y^(-1) ]
y·(dy / dx) + (y^2) / x = -(x^2 + 1)....(I)
u = y^2....(II) ⇒ du / dx = 2y·(dy / dx) ⇒ (1 / 2)·(du / dx) = y·(dy / dx)....(III)
(II) ve (III) değişken dönüşümü eşitlikleri (I) eşitliğine götürülüp düzenlenirse,
du / dx + (2 / x)·u = -2(x^2 + 1) gibi beş paralık bir birinci mertebe lineer diferansiyel denklem tipine dönerek bundan sonrası k(x) ve v(x) gibi birer fonksiyona bağlı u = k·v dönüşümüyle veya Lagrange Sabitin Değişimi yöntemiyle kolayca çözülür. Sitede bunlara ilişkin çok sayıda örnek olduğundan gereken basit işlemlerin yapılıp aynı sonuca ulaşılması ilgilenen öğrencilere ödev ama yapamayan olursa lütfen söylesin.