Çözüldü Trigonometri - Kareköklü Sayılar

Bir sorunun çözümünden gelen ilhamla AYT için hazırlanmış başka bir problem:

α = -2·arctan(2 - √5) ⇒ cot(α) = ?

A) 1 / 2
B) 2 / √5
C) 1
D) 2
E) √5

cot(α) = cot[ -2·arctan(2 - √5) ]
θ = arctan(2 - √5)
cot(α) = -cot(2θ) = -{ [ cot(θ) ]^2 - 1 } / [ 2·cot(θ) ]
cot(α) = { 1 - [ cot(θ) ]^2 } / [ 2·cot(θ) ] = (1 / 2)·tan(θ) - (1 / 2)·cot(θ)....(I)
tan(θ) = 2 - √5....(II) ⇒ cot(θ) = 1 / (2 - √5) = (2 + √5) / (4 - 5) = -2 - √5....(III)
(II) ve (III) eşitlikleri (I)'deki yerlerine yazılınca;
cot(α) = (1 / 2)·(2 - √5) - (1 / 2)·(-2 - √5) = 1 - (√5) / 2 + 1 + (√5) / 2 = 1 + 1 = 2.

Not: Bu problem https://www.sorumvar.net/frm/konular/trigonometrik-optimizasyon-turev-cebirsel-ozdeslikler.13692/ adresindeki sorunun çözümünde ulaşılan sonuca ilişkin WolframAlpha (WA) doğrulamasında WA'nın verdiği sayının da aynı olduğunun ispatı için hazırlandı.