Çözüldü Trigonometrik İntegral Angaryası (Sadece zamanı olan ve meraklı öğrencilere)

Not: Çok gerekmedikçe parantez kullanılmadı.

∫ (sinx)^6·(cosx)^4 dx = ?
https://www.facebook.com/photo/?fbid=10225592356274889&set=pcb.1505210491180931

∫ [ (sinx)^2·(cosx)^2 ]^2·(sinx)^2 dx =
∫ (1 / 16)·(sin2x)^4·(sinx)^2 dx =
(1 / 16)·∫ (sin2x)^4·(1 / 2)·(1 - cos2x) dx =
(1 / 32)·[ ∫ (sin2x)^4 dx - ∫ (sin2x)^4·cos2x dx ]....(I)

I1 = ∫ (sin2x)^4 dx = ∫ (sin2x)^2·[ 1 - (cos2x)^2 ] dx = ∫ (sin2x)^2 dx - ∫ (sin2x)^2·(cos2x)^2 dx =
∫ (1 / 2)·(1 - cos4x) dx - ∫ (1 / 4)·(sin4x)^2 dx =
∫ dx / 2 - (1 / 2)·∫ cos4x dx - (1 / 4)·∫ (1 / 2)·(1 - cos8x) dx =
∫ dx / 2 - (1 / 2)·∫ cos4x dx - ∫ dx / 8 + (1 / 8)·∫ cos8x dx =
x / 2 - (1 / 8)·sin4x - x / 8 + (1 / 64)·sin8x + C1....(II)

I2 = ∫ (sin2x)^4·cos2x dx integralinde sin2x = u ⇒ cos2x dx = du / 2 değişken dönüşümüyle
I2 = (1 / 2)·∫ u^4 du = (1 / 2)·u^5 / 5 + C2 = (1 / 10)·(sin2x)^5 + C2....(III)

(II) ve (III) eşitlikleri (I) ifadesindeki yerlerine yazılıp;
(1 / 32)·[ x / 2 - (1 / 8)·sin4x - x / 8 + (1 / 64)·sin8x + C1 - (1 / 10)·(sin2x)^5 - C2 ] =
x / 64 - (1 / 256)·sin4x - x / 256 + (1 / 2048)·sin8x + C1 / 32 - (1 / 320)·(sin2x)^5 - C2 / 32 =
3x / 256 - (1 / 256)·sin4x + (1 / 2048)·sin8x - (1 / 320)·(sin2x)^5 + C.

Sonucun Türevi:

https://i.ibb.co/y2HTvNb/T-rev-WA.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=derivative 3x / 256 - (1 / 256)·sin4x + (1 / 2048)·sin8x - (1 / 320)·(sin2x)^5

Türev Fonksiyonunun, İntegrali Sorulan İfadeye Eşitliği:

https://i.ibb.co/6Rc528wh/T-revden-Kontrol-WA.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=1/256 (-4 cos(4 x) + cos(8 x) - 8 sin^4(2 x) cos(2 x) + 3) = (sinx)^6·(cosx)^4