Çözüldü Trigonometrik İntegral Hamallığı (Sadece canı sıkılan öğrencilere)

∫ (tan(x) + 1) dx / (√2·tan(x) + 1) = ?

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/integ128.png
https://www.facebook.com/photo/?fbid=10163805515052766&set=g.292914657582511

tan(x / 2) = u ⇒ tan(x) = 2u / (1 + u^2), dx = 2du / (1 + u^2) dönüşümleriyle integral;
∫ [ 2u / (1 + u^2) + 1 ][ 2du / (1 + u^2) ] / { √2·[ 2u / (1 + u^2) ] + 1 } =
∫ 2(u^2 + 2u + 1)du / [ (u^2 + √2·u + 1)(1 + u^2) ] olup integrand (yani integrali alınacak olan terimler topluluğu) rasyonel kesirlere ayrılınca ( bu işlem ilgilenen öğrencilere ödev, yapamayan olursa lütfen söylesin, ben uğraşmamak için WolframAlpha'ya kaktırdım: https://www.wolframalpha.com/input?i=partial fractions 2(u^2 + 2u + 1) / [ (u^2 + √2·u + 1)(1 + u^2) ] )
(2 - √2)·∫ du / (u^2 + √2·u + 1) + (2√2)·∫ du / (u^2 + 1) =
(2 - √2)·∫ du / [ (u + 1 / √2)^2 + 1 - 1 / 2 ] + (2√2)·arctan(u) + c2 =
(2 - √2)·∫ du / [ (u + 1 / √2)^2 + 1 / 2 ] + (2√2)·arctan(u) + c2....(I) ifadesinde birinci terimdeki integrasyon için
u + 1 / √2 = (1 / √2)·tan(θ) dönüşümüyle du = (1 / √2)·[ sec(θ) ]^2 dθ ve (u + 1 / √2)^2 + 1 / 2 = (1 / 2)·[ sec(θ) ]^2 yazılıp (I) integrali (2 - √2)·∫ (1 / √2)·[ sec(θ) ]^2 dθ / { (1 / 2)·[ sec(θ) ]^2 } + (2√2)·arctan(u) + c2 =
(√2 - 1)·∫ 2dθ + (2√2)·arctan(u) + c2 =
2(√2 - 1)·θ + c1 + (2√2)·arctan(u) + c2....(III)
u + 1 / √2 = (1 / √2)·tan(θ) ⇒ θ = arctan(√2·u + 1)....(IV)
(III) eşitliğinde tan(x / 2) = u ⇒ θ = arctan[ √2·tan(x / 2) + 1 ] yazılınca
2(√2 - 1)·arctan[ √2·tan(x / 2) + 1 ] + c1 + (2√2)·arctan[ tan(x / 2) ] + c2 =
2(√2 - 1)·arctan[ √2·tan(x / 2) + 1 ] + (2√2)·arctan[ tan(x / 2) ] + c.

Not: İkinci terim x ∈ (-π, π) şartıyla (2√2)·(x / 2) = x·√2 şeklinde sadeleştirilebilir ve bu durumda sonuç;
2(√2 - 1)·arctan[ √2·tan(x / 2) + 1 ] + x·√2 + c olarak basitleştirilebilir.