Çözüldü Trigonometrik İntegral

integralini hesaplayınız.

Benim çözüm:

Sayın Cem Hocamızın klas yaklaşımı görülemediği takdirde trigonometrik fonksiyon derecesinin indirgenmesiyle şöyle de yapılabilir:

Not: Okuma kolaylığı için çok gerekmedikçe parantez kullanılmadı ve önce belirsiz integral olarak alınıp integrasyon sınırlarının işleme alınması son aşamaya bırakıldı.

cos(2x) = 2(cosx)^2 - 1 ⇒ (cosx)^4 = (1 / 4)[ (cos2x)^2 + 2cos2x + 1 ]....(I)
cos(2x) = 1 - 2(sinx)^2 ⇒ (sinx)^4 = (1 / 4)[ (cos2x)^2 - 2cos2x + 1 ]....(II)
(I) ve (II) eşitliklerinden (cotx)^4 = [ (cos2x)^2 + 2cos2x + 1 ] / [ (cos2x)^2 - 2cos2x + 1 ] eşitliği kullanılarak integral;
(1 / 2)·∫ [ (cos2x)^2 - 2cos2x + 1 ] dx / [ (cos2x)^2 + 1 ] =
(1 / 2)·∫ { 1 - 2cos2x / [ (cos2x)^2 + 1 ] } dx =
∫ dx / 2 - ∫ (cos2x dx / [ (cos2x)^2 + 1 ]....(III)
(III) integralinde ikinci terim için sin2x = u ⇒ cos2x dx = du / 2 ve (sin2x)^2 = u^2 ⇒ (cos2x)^2 = 1 - u^2 değişken dönüşümleriyle,
∫ dx / 2 - ∫ (du / 2) / (1 - u^2 + 1) =
(1 / 2)·[ ∫ dx + ∫ du / (u^2 - 2) ] =
∫ dx / 2 + (1 / 2)·∫ du / [ (u - √2)(u + √2) ] =
∫ dx / 2 + (1 / 4)·∫ du / (u - √2) - (1 / 4)·∫ du / (u + √2) =
x / 2 + (1 / 4)·ln| (u - √2) / (u - √2) | + C ve x değişkenine geri dönülerek,
x / 2 + (1 / 4)·ln| (sin2x - √2) / (sin2x - √2) | + C....(IV)
(IV) sonucu integrasyon sınırlarıyla;
2π / 2 + (1 / 4)·ln|-1| + C - [ 0 / 2 + (1 / 4)·ln|-1| + C ] =
π + 0 + C - 0 - C =
π.