Çözüldü Trigonometrik İntegralde Değişken Dönüşümleri - Pisagor Teoremi

İnternette arama yapma zahmetine bile katlanamayan ve Facebook gruplarında kimliğini de gösteremeyen ödleklerden birinin sorusu:

∫ dx / [ 1 - sin(x) ] = ?
https://www.facebook.com/photo/?fbid=2436902843357705&set=g.292914657582511

Çözüm - 1:

https://i.ibb.co/ZpyxMBbw/z-m1.png
https://www.doubtnut.com/qna/42118448

Çözüm - 2:
tan(x / 2) = u....(I) ⇒ (1 / 2){ 1 + [ tan(x / 2) ]^2 }dx = du ⇒ dx = 2du / (1 + u^2)....(II)
(I) eşitliğine göre Pisagor Teoremi gereğince,
sin(x / 2) = u / [ (1 + u^2)^0,5 ]....(III), cos(x / 2) = 1 / [ (1 + u^2)^0,5 ]....(IV)
sin(x) = 2·sin(x / 2)·cos(x / 2) olduğundan (III) ve (IV) dönüşümleriyle sin(x) = 2u / (1 + u^2)....(V)
(II) ve (V) eşitliklerine bağlı olarak integralin yeni durumu ∫ [ 2du / (1 + u^2) ] / [ 1 - 2u / (1 + u^2) ] =
∫ 2du / (u - 1)^2....(VI) integralinin çözümü için u - 1 = t....(VII) ⇒ du = dt....(VIII) dönüşümleriyle,
∫ 2dt / t^2 = -2 / t + c1 ve (VII) ve (VIII)'den u değişkenine geri dönülerek,
2 / (1 - u) + c1 ve (I)'den x değişkenine geçilince,
2 / [ 1 - tan(x / 2) ] + c1....(VIII)

WolframAlpha Kontrolu:
(VIII) Numaralı sonucun türevi alınarak,

https://i.ibb.co/B1JtYzM/z-m-WA.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=(2 / [ 1 - tan(x / 2) ])'

Not:
(VIII) Numaralı ifadenin Çözüm - 1'deki sonuçla aynı olduğu şöyle gösterilebilir;
2cos(x / 2) / [ cos(x / 2) - sin(x / 2) ] + c1 =
2cos(x / 2)·[ cos(x / 2) + sin(x / 2) ] / cos(x) + c1 =
{ 2·[ cos(x / 2) ]^2 + sin(x) } / cos(x) + c1 =
[ 1 + cos(x) + sin(x) ] / cos(x) + c1 =
sec(x) + 1 + tan(x) + c1 =
tan(x) + sec(x) + c.