Çözüldü Trigonometrik Limit ve Türev (YKS 2023'te olmayabilir)

University of California - Los Angeles'tan tanım ile çözülmüş bir sorunun farklı çözümleri:

lim (h → 0) sin(2h)·sin(3h) / (h^2) = ?

Biraz Daha Uzun Trigonometrik Çözüm:
sin(2h)·sin(3h) = (1 / 2)·[ cos(2h - 3h) - cos(2h + 3h) ] = (1 / 2)·[ cos(h) - cos(5h) ] =
(1 / 2)·{ 1 - 2·[ sin(h / 2) ]^2 - 1 + 2·[ sin(5h / 2) ]^2 } = [ sin(5h / 2) ]^2 - [ sin(h / 2) ]^2
lim (h → 0) sin(2h)·sin(3h) / (h^2) = lim (h → 0) { [ sin(5h / 2) ] / h }^2 - lim (h → 0) { [ sin(h / 2) ] / h }^2 =
lim (h → 0) { [ sin(5h / 2) ] / (5h / 2) }^2·[ (5 / 2)^2 ] - lim (h → 0) { [ sin(h / 2) ] / (h / 2) }^2·[ (1 / 2)^2 ] =
(1^2)·(25 / 4) - (1^2)·(1 / 4) = 24 / 4 = 6.
---
MacLaurin Serisine Açılarak Çözüm:
sin(2h)·sin(3h) = 6h^2 - 13h^4 + ...
lim (h → 0) sin(2h)·sin(3h) / (h^2) = lim (h → 0) (6h^2 - 13h^4 + ...) / (h^2) = lim (h → 0) (6 - 13h^2 + ...) = 6 - 0 + 0 ... = 6.
---
L'Hospital Kuralı İle Çözüm:
lim (h → 0) sin(2h)·sin(3h) / (h^2) = 0 / 0 belirsizliği olduğundan kural uygulanıp pay ve paydanın ayrı ayrı türevleri alınırsa;
lim (h → 0) [ 2cos(2h)·sin(3h) + 3cos(2h)·sin(2h) ] / (2h) = 0 / 0 belirsizliği devam ettiğinden kural tekrar uygulanarak,
lim (h → 0) [ -4sin(2h)·sin(3h) + 6cos(2h)·cos(3h) - 9sin(3h)·sin(2h) + 6cos(3h)·cos(2h) ] / 2 =
lim (h → 0) (-0 + 12 - 0 + 6) / 2 = 12 / 2 = 6.

Sorunun En Kısa Çözümü:

https://i.ibb.co/VwhCvC4/UCLA.png
https://www.math.ucla.edu/~mjandr/Math31A/finalpracsol.pdf
(Sayfa 2, Problem 1.d)