Çözüldü Trigonometrik Limitin L'Hospital Kuralı, Değişken Dönüşümü ve Serilerle Çözümü

University of Toronto'dan:


https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/toront11.png
https://www.math.toronto.edu/burbulla/detailed/mat186testsandexams/mat186nov18.pdf
(İlk Soru)

Değişken Dönüşümüyle Çözüm:
y = arctan(2x) ⇒ x = (1 / 2)·tan(y)
x → 0 ⇒ y → 0
lim (y → 0) { sin[ (5 / 2)·tan(y) ] / y } =
lim (y → 0) { sin[ (5 / 2)·tan(y) ] / [ (5 / 2)·tan(y) ] }·(5 / 2)·lim (y → 0) { [ tan(y) ] / y } =
1·(5 / 2)·1 =
5 / 2.

Serilerle Çözüm:
Üniversitelerin sayısal bölümlerine gitmek isteyenlerin, nasıl yapıldığını ve ayrıca ezbere de bilmeleri gereken MacLaurin serilerinden ikisi;
sin(x) = x - x^3 / 6 + ... ve arctan(x) = x - x^3 / 3 + ... olup bunlara göre;
sin(5x) = 5x - 125x^3 / 6 + ... ve arctan(2x) = 2x - 8x^3 / 3 + ...
lim (x → 0) (5x - 125x^3 / 6 + ... ) / (2x - 8x^3 / 3 + ... ) =
lim (x → 0) (5 - 125x^2 / 6 + ... ) / (2 - 8x^2 / 3 + ... ) =
(5 - 0 + 0 - ...) / (2 - 0 + 0 - ...) =
5 / 2.