Çözüldü Türev (6 Soru)

Yardımcı olmaya çalışayım:
23 numaralı birinci soru:
Parabolün üzerindeki bir (a, a^2) noktasındaki teğetin eğimi m1 = 2a ve normalin eğimi m2 = -1 / 2a
Normalin denklemi y - a^2 = (-1 / 2a)(x - a) olup düzenlenirse y = -x / 2a + a^2 + 1 / 2 ve problemde verilen y = -x + k denklemiyle karşılaştırılırsa;
-1 / 2a = -1 ⇒ a = 1 / 2
k = a^2 + / 2 = 3 / 4

Grafik:

http://i1038.photobucket.com/albums/a470/hdbalzac/Questions and-or Solutions/parabol.png

Not: Grafikte belli olmamasına rağmen, teğeet ve normal birbirlerine diktir.
---
49 numaralı ikinci soru:
y = x^3 fonksiyonuna üzerindeki (2, 2^3 = 8) noktasında sadece 1 teğet çizilebilir.
O teğetin denklemi y = mx + n olsun.
y' = 3x^2 ve x = 2 noktasındaki teğetin eğimi m = 12
Teğet, (2, 8) noktasından geçtiğine göre 8 = 2m + n ⇒ n = 8 - 2m = 8 - 2·12 = -16
y = 12x - 16

Grafik:

http://i1038.photobucket.com/albums/a470/hdbalzac/Questions and-or Solutions/grafik.gif.png
---
49 numaralı üçüncü soru:
Teğetin denklemi y = mx + n olsun.
-2m + n = 0....(I)
√x = mx + n
x = m^2·x^2 + 2mnx + n^2
m^2·x^2 + (2mn - 1)x + n^2 = 0

Teğetlik şartı için diskriminat sıfıra eşitlenirse;
Δ = (2mn - 1)^2 - 4m^2·n^2 = 0 ⇒ n = 1 / 4m....(II)
(II) değeri, (I) eşitliğinde yazılırsa -8m^2 + 1 = 0 ⇒ m = ∓1 / √8 ⇒ n = ∓ 1 / √2

Grafik:

http://i1038.photobucket.com/albums/a470/hdbalzac/Questions and-or Solutions/kokx-tegetleri.png

Rica ederim. Doğru diyorsunuz. Kusura bakmayın hata bende çünkü III. Bölgede de teğet olabileceğini görememişim.
O teğetin denklemi y = mx + n ve (2, 8) noktasından geçeceği için 8 = 2m + n ⇒ n = 8 - 2m...(I) yazılır.
Ayrıca x^3 = mx + n ⇒ x^3 - mx - n = 0....(II) ortak denklemi kurulur. Şimdi x < 0 olmak üzere bir değer, örneğin x = -1 seçilip (yalnız bu çözüm hoşuma gitmedi ve üzerinde düşünmeye devam ediyorum) (II) eşitliğinde yazılırsa -1 + m - n = 0 ⇒ m - n = 1....(III) olur.
(I) ve (III= ndeklem sistemi çözülürse m = 3 ve n = 2 bulunup diğere teğetin denklemi de y = 3x - 2 olarak elde edilir.

x = -1 noktasının gerçekten değme noktası olduğunu başka nasıl gösterebiliriz diye düşünüyorum. (Kübik denklem diskriminantının sıfıra eşitlenmesiyle olabilir belki)
Grafik:

http://i1038.photobucket.com/albums/a470/hdbalzac/Questions and-or Solutions/grafik_1.png

Evet, y = ax^3 + bx^2 + cx + d kübik denkleminin (ortak çözümle çıkan denklem) dislriminantı teğetlik için;
http://bilgiyelpazesi.com/egitim_og...imlar/diskriminant_ozellikleri_formulleri.asp
x^3 - mx - n = 0 denkleminde Δ = c^2·b^2 - 4·d·b^3 - 4c^3·a + 18·d·c·b·a - 27·d^·a^2 = 0 yazılıp a = 1, b = 0, c = -m, d = -n alınırsa;
n^2 = 4(m^3 / 27) ⇒ n = ∓2√(m^3 / 27) olur ve tam sayı değer için m = 3 alınınca n = ∓2 bulunur ki y = 3x + 2, problemde verilen noktadan geçen diğer teğettir.

Not: y = 3x - 2 doğrusu da teğettir ama (2, 8) noktasından geçmez.
Son Grafik:

http://i1038.photobucket.com/albums/a470/hdbalzac/Questions and-or Solutions/grafik2.png