Çözüldü Türev Grafiği - Ekstremum Noktalar

https://i.ibb.co/q55cdmH/t-rev-grafi-i2.png
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=10220733840391830&set=g.1174585619345646&type=1&theater&ifg=1
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için sorunun aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

Resimde C işaretlenmiş ama sadece B seçeneğinin yani (II) önermesinin doğru olduğunu düşünüyorum çünkü;
x < 0 için f '(x) = 1 ⇒ f(x) = x + C1....(1)
0 < x < 1 için f '(x) = -1 ⇒ f(x) = -x + C2....(2)
1 < x için f '(x) = -2 ⇒ f(x) = -2x + C3....(3)
(3) eşitliğinden f(2) = -2·2 + C3 = -4 + C3....(4)
(1) eşitliğinden f(-2) = -2 + C1....(5)
(4) ve (5) taraf tarafa çıkarılarak f(2) - f(-2) = -4 + C3 - (-2 + C1) = -2 + C3 - C1 olur ki (I) önermesinin doğru olması ancak -2 + C3 - C1 = -1 ⇒ C3 - C1 = 1 gibi bir başka koşula bağlıdır.
x < 0 için f '(x) = 1 > 0 olduğundan fonksiyon bu aralıkta artandır,
x > 0 için f '(x) = -1 < 0 olduğundan fonksiyon bu aralıkta azalandır....(6)
dolayısıyla [-2, 2] aralığında fonksiyonun konkavlığı değiştiğinden bir yerel maksimumu vardır ve (II) önermesi doğrudur.
(6) nedeniyle x = 1 noktasında yerel maksimum olamaz.

Çözümdeki hatayı veya C şıkkının doğruluğunu göstermek isteyen hayırseverlere şimdiden çok teşekkürler.

1. önerme için;

Çok teşekkürler sayın Bora Üstadım, x = 0 durumunda C1 = C2 olduğunu atlamışım, eksik olmayın sayın hocam.

Rica ederim. Sizin de elinize sağlık