Çözüldü Türev - İntegral - Doğrunun Analitiği - Üçgende Alan

McGill University'den cevaplı bir sorunun klasik sınav için biraz zorlaştırılmış uyarlaması:
(Sadece zamanı olan meraklı öğrencilere)

İkinci türev eğrisi y = 3cos(x) + 2sin(x), ordinat eksenini pozitif yönde kestiği noktanın orijine uzaklığı 3 birim ve bu noktadaki teğetinin apsisler ekseniyle pozitif yönde yaptığı açının tanjantı 2 olan fonksiyonun π / 2 apsisli noktasındaki teğetiyle arasındaki kapalı alan kaç birim karedir?

c1, c2 ∈ R
y = f ''(x) = 3cos(x) + 2sin(x) ⇒ f '(x) = 3sin(x) - 2cos(x) + c1
f '(0) = 2 = 3sin(0) - 2cos(0) + c1 ⇒ c1 = 4 ⇒ f '(x) = 3sin(x) - 2cos(x) + 4
f(x) = -3cos(x) - 2sin(x) + 4x + c2
f(0) = 3 = -3cos(0) - 2sin(0) + 4·0 + c2 ⇒ c2 = 6
f(x) = -3cos(x) - 2sin(x) + 4x + 6 fonksiyonunun x = π / 2 noktasındaki;
ordinat değeri f(π / 2) = -3·0 - 2·1 + 4·(π / 2) + 6 = 2π + 4
teğetinin eğimi f '(π / 2) = 3·1 - 2·0 + 4 = 7
teğetinin denklemi y - (2π + 4) = 7(x - π / 2) ⇒ y = 7x - 3π / 2 + 4
teğetinin x eksenini kestiği nokta 0 = 7x - 3π / 2 + 4 ⇒ x = (3π - 8) / 14
teğetinin y eksenini kestiği nokta y = 0 - 3π / 2 + 4 = (8 - 3π) / 2
f(x) = -3cos(x) - 2sin(x) + 4x + 6 fonksiyonuyla x = π / 2 noktasındaki teğeti olan y = 7x - 3π / 2 + 4 doğrusu arasındaki alan:

f(x) fonksiyonunun [0, π / 2] aralığında x ekseniyle arasındaki alan - Teğetin [ (3π - 8) / 14, π / 2] aralığında x ekseniyle arasındaki alan + Teğetin IV. Bölgede Eksenlerle Arasındaki Alan

f(x) fonksiyonunun [0, π / 2] aralığında x ekseniyle arasındaki alan = A1 =
(alt sınır x = 0, üst sınır x = π / 2),∫ [-3cos(x) - 2sin(x) + 4x + 6] dx = π^2 / 2 + 3π - 5 birim^2....(I)
https://www.wolframalpha.com/input?i=area under f(x)=-3cos(x) - 2sin(x) + 4x + 6, 0<=x<=pi/2
Not: İntegral işlemini yaparak doğru sonucu bulmak ilgilenen öğrencilere ödev.

Teğetin [ (3π - 8) / 14, π / 2] aralığında x ekseniyle arasındaki alan = A2 =
[ π / 2 - (3π - 8) / 14 ]·(2π + 4) / 2 = 2(π + 2)^2 / 7....(II)

Teğetin IV. Bölgede Eksenlerle Arasındaki Alan = A3 = [ (3π - 8) / 14 ]·|(8 - 3π) / 2| / 2 = (3π - 8)^2 / 56....(III)

Aranan Alan (I), (II), (III) kullanılarak A1 - A2 + A3 =
(π^2 / 2 + 3π - 5) - [ 2(π + 2)^2 / 7 ] + [ (3π - 8)^2 / 56 ] = 3π^2 / 8 + π - 5 birim^2 (≈ 1,84269).

Grafik:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/trigo107.png

Sorunun Aslı:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/mcgill14.png
https://www.math.mcgill.ca/rags/jacarc/exam01/nya-013.pdf (Son soru)
Yanıtlar: https://www.math.mcgill.ca/rags/jacarc/exam01/nya013-ans.html