Çözüldü Türev - İntegral - Üstel Fonksiyonlu Denklem

University of Pennsylvania'dan çözümlü bir sorunun klasik sınav için zorlaştırılmış uyarlaması:

Türevlenebilir ve sürekli bir y = f(x) fonksiyonu için y' = y·ln(y)·[ sec(x) ]^2·[ tan(x) ] / ln[ ln(y) ] ve fonksiyonun ordinat eksenini kestiği noktanın orijine uzaklığı e^e^2 ise fonksiyonun arctan(√8) apsisli noktasının ordinat değerleri nedir?

dy / dx = y·ln(y)·[ sec(x) ]^2·[ tan(x) ] / ln[ ln(y) ]
{ ln[ ln(y) ] / [ ln(y) ] }(dy / y) = [ sec(x) ]^2·[ tan(x) ]dx....(I)
ln(y) = u ⇒ dy / y = du ve tan(x) = p ⇒ [ sec(x) ]^2 dx = dp değişken dönüşümlerinden sonra (I) ifadesi
{ [ ln(u) ] / u }du = pdp olup sol tarafta ln(u) = k ⇒ du / u = dk dönüşümüyle,
kdk = pdp
k^2 / 2 = p^2 / 2 + c1
[ ln(u) ]^2 = [ tan(x) ]^2 + 2c1 eşitliğinde 2c1 = c2 olarak başka bir sabite eşitlenip,
{ ln[ ln(y) ] }^2 = [ sec(x) ]^2 - 1 + c2 eşitliğinde -1 + c2 = c alınarak,
{ ln[ ln(y) ] }^2 = [ sec(x) ]^2 + c
ln[ ln(y) ] = ∓{ [ sec(x) ]^2 + c }^0,5
ln(y) = e^(∓{ [ sec(x) ]^2 + c }^0,5)
y(x) = e^[ e^(∓{ [ sec(x) ]^2 + c }^0,5) ]....(II)
WolframAlpha Kontrolu:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/log_wa10.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=log(log(y))y'=y*log(y)*(sec(x))^2*tan(x)

Ordinat eksenini kestiği noktanın apsisi x = 0 ve y(0) = e^e^2 = e^[ e^(∓{ [ sec(0) ]^2 + c }^0,5) ] eşitliğinden
e^2 = e^(∓{ [ sec(0) ]^2 + c }^0,5 )
2 = ∓(1^2 + c)^0,5 ⇒ 4 = 1 + c ⇒ c = 3 değerine göre (II) denklemi y(x) = e^[ e^(∓{ [ sec(x) ]^2 + 3 }^0,5) ]....(III)
x = arctan(√8) ⇒ tan(x) = (√8) / 1 eşitliğine uygun dik üçgenden Pisagor Teoremi ile sec(x) = [ (√8)^2 + 1^2 ]^0,5 / 1 = 3....(IV)
(IV) değeri (III) eşitliğine taşınarak y[ arctan(√8) ] = e^[ e^(∓2·√3) ].

Sorunun Aslı ve Çözümü:

https://i.ibb.co/RbTRKkD/upenn.png
https://www2.math.upenn.edu/~ryblair/Math104/papers/MT1sol.pdf
(Son Soru)