Çözüldü Türev Soruları

Sayın Cem Hocamız'ın çözümleri imageshack.us'den silindiği için şöyle yapmaya çalıştım:

http://i1038.photobucket.com/albums/a470/hdbalzac/Questions and-or Solutions/turev.png

1. Soru:
x = 0 ⇒ e^0 - 0 + y^3 = 0 ⇒ y^3 = -1 ⇒ y = -1
(1·y + x·y')·[ e^(x·y) ] - 2x + (3y^2)·y' = 0

Bir test sınavında x ve y değerleri bu aşamada hemen yerlerine yazılarak işlem daha çabuk tamamlanabilir:
(-1 + 0)·1 - 0 + [3(-1)^2]·y' = 0
3y' = 1 ⇒ y' = 1 / 3

Kapalı (Implicit) Fonksiyon türevinin tam gösterilmesi istenilen klasik bir sınavda ise;
y·[ e^(x·y) ] + x·[ e^(x·y) ]·y' + (3y^2)·y' = 2x
y'·{ x·[ e^(x·y) ] + 3y^2 } = 2x - y·[ e^(x·y) ]
y' = { 2x - y·[ e^(x·y) ] } / { x·[ e^(x·y) ] + 3y^2 }
y'(0) = [ 0 - (-1)·1 ] / [ 0 + 3 (-1)^2 ] = 1 / 3 olarak yapılabilir.

Bu soruyu nasıl sorduysam da WolframAlpha bir türlü anlayamadı.
---
2. Soru:
log[ f(x) ] = tan(x)·log(x)f '(x) / f(x)= sec^2(x)·log(x) + tan(x)·(1 / x)
f '(x) = df(x) / dx = x^tan(x)·[sec^2(x)·log(x) + tan(x) / x]
f '(x) = df(x) / dx = x^tan(x)·sec^2(x)·log(x) + tan(x)·x^[ tan(x) - 1 ]
f '(x) = df(x) / dx = x^[ tan(x) - 1 ]·[ tan(x) + x·sec^2(x)·log(x) ]

WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)=x^(tan(x)), f'(x)=? ("Derivative" başlığı altında)
---
3. Soru:
y' = [ 1·(x^2 + 1) - 2x·x ] / (x^2 + 1)^2 = (1 - x^2) / (x^2 + 1)^2
Orijindeki teğetin eğimi: m = (1 - 0) / ( 0 + 1)^2 = 1
Teğetin denklemi: y - 0 = 1(x - 0), y = x (Birinci açıortay)

WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=tangent line to y=x/(x^2+1) at x=0