Çözüldü Türevin Ekonomi ve İşletmeye Uygulanışı

University of Pennsylvania'dan bir örnek:

100 dükkanlı büyük bir Alış-Veriş Merkezinde (AVM) kiralar 800 dolar yapıldığında bütün dükkanlar tutulmakta ama her 10 dolarlık kira artışında dükkanlardan biri boş kalmaktadır. Bu AVM'deki dükkanların kirası kaç dolar olduğunda maksimum gelir elde edilebilir? (Cevap: 900)

Sorunun Aslı:
"The manager of a 100-unit apartment complex knows from experience that all units will be occupied if the rent is $800 per month. A survey indicates that for each $10 increase in the rent one additional unit will remain vacant. What rent should the manager charge to maximize revenue?"

Orijinal çözümün bulunduğu dosya [ www.math.upenn.edu/~wwylie/Math103/Midterm2-practice-solutions.pdf (13. sayfadaki 13. problem) ] üniversitenin Internet sitesinden silinmiş olduğu için "Doğrunun Analitiği"nden de faydalanılarak şöyle çözülebilir:

R: Gelir
x: Kira
u: Kiralanan dükkan sayısı
R = x·u
u ve x arasındaki u = f(x) doğrusal bağıntı da verilenlerden yararlanılarak şöyle yazılabilir:
x1 = 800 ⇒ u1 = 100
x2 = 810 ⇒ u2 = 99
(u - 99) / (100 - 99) = (x - 800) / (800 - 810) ve buradan da u = (-1 / 10)(x - 800) + 100 = -x / 10 + 180 yazılarak,
"Gelir" fonksiyonu R(x) = x(-x / 10 + 180) = -x^2 / 10 + 180x bulunur.
İkinci türevin negatif olması [ R ''(x) = -1 / 5 ], fonksiyonun bir maksimumu olduğunu da göstermekte olup bu en büyük değer de
R'(x) = -x / 5 + 180 = 0 ⇒ x = 900 olur.