Çözüldü Türevin Geometrik Anlamı - İkinci Derece Denklem

Columbus State University 29 Nisan 2016 tarihli Calculus yarışmasından çözümlü bir örnek:

https://i.ibb.co/pbtpBxR/Columbus.png
https://www.columbusstate.edu/math/_docs/tournament/2016CalculusContestSolutions.pdf
(Sayfa 1, Soru 1)

Türevsiz Çözüm:
Teğet Denklemi: y = m·x + n ⇒ 3 = -m + n ⇒ n = m + 3....(I)
(3x + 2m·x + 2n)^2 + (x - m·x - n)^2 = 25
[ (3 + 2m)·x + 2n ]^2 + [ (1 - m)·x - n ]^2 = 25
(3 + 2m)^2·x^2 + 4n(3 + 2m)·x + 4n^2 + (1 - m)^2·x^2 - 2·(1 - m)·n·x + n^2 = 25
[ (3 + 2m)^2 + (1 - m^2) ]·x^2 + [ 4n(3 + 2m) - 2·(1 - m)·n ]·x + 5n^2 = 235
(5m^2 + 10m + 10)·x^2 + (10n + 10m)·x + 5n^2 = 25
(m^2 + 2m + 2)·x^2 + 2·(n + m·n)·x + n^2 - 5 = 0
Teğetlik için Yarım Delta = (n + m·n)^2 - (m^2 + 2m + 2)(n^2 - 5) = 0 ⇒ 5m^2 + 10m - n^2 + 10 = 0....(II)
(I) eşitliği (II)'deki yerine konularak düzenlenirse 5m^2 + 10m - (m + 3)^2 + 10 = 0 ⇒ 4m^2 + 4m + 1 = 0
(2m + 1)^2 = 0 ⇒ m = -1 / 2....(III)
(III) değeri (I)'de kullanılıp n = -1 / 2 + 3 = 5 / 2....(IV)
(IV) ve (III) değerlerinden (5 / 2) / (-1 / 2) + 7 = -5 + 7 = 2.

Not: İlgilenen öğrenci üyelerin türevli çözümün ne kadar pratik olduğuna dikkat etmeleri iyi olur.