Çözüldü Üç Katlı İntegral - Üçgen Piramit (Dört Yüzlü) ile Düzlem Kesişimi (YKS'de Yok)

Orta öğretim programından integralin kaldırılışı kutlamalarına University of Utah'dan sonucu yanlış hesaplanmış bir problemin fen lisesi klasik sınavı için biraz zorlaştırılmış uyarlamasıyla devam ediyoruz:

Üç boyutlu analitik uzayın birinci sekizde birlik (octant) bölgesinde x / 5 + y / 3 + z / 2 = 1 düzleminin oluşturduğu cismin hacminin kaç birim^3 olduğunu geometrik yoldan ve gerektiğince katlı integralle hesaplayınız.

Geometrik Çözüm:
y = z = 0 ⇒ x = 5
x = z = 0 ⇒ y = 3
x = y = 0 ⇒ z = 1
Meydana gelen cisim, köşeleri (5, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 2) olan bir dörtyüzlü yani üçgen piramittir ve hacmi;
(1 / 3)·{ [ (3·5) / 2 ]·2 } = 5 birim^3.

Grafik:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/geogeb11.png

Üç Katlı İntegralle Çözüm:






















WolframAlpha Kontrolu:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/utah_w10.png
https://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=a83fc1af67a3fdc3cf56863e7f1b5dda (İşleme göre değiştirilecek)
https://www.wolframalpha.com/input?i=int [//math:1//] [//math:dz dy dx//] , z=[//math:0//]..[//math:2-2x/5-2y/3//], y=[//math:0//]..[//math:3-3x/5//], x=[//math:0//]..[//math:5//]

Sorunun Aslı:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/utah16.png
https://www.math.utah.edu/online/2210/Exams/Prac_Final_Answers/Prac_Final_Answers.pdf
(Sayfa 4, Soru 10)

Not: İntegrasyon sınırlarının nasıl yazıldığını anlamak ilgilenen öğrencilere ödev ama yapamayan olursa lütfen söylesin.