Çözüldü Üçgende Çevrel Çember-Türev-Trigonometri-İkinci Derece Denklem-Pisagor Teoremi

Piyasadaki sorulardan birinin AYT için biraz zorlaştırılmış uyarlaması:


https://i.ibb.co/Mx115NGj/semicircle.png

Şekildeki yarım çember içine çizilmiş üçgenlerden yeşil renklisinin alanı 7·sin(2α) + 24·cos(2α) ise çemberin yarıçapıyla α çevre açısının kosinüsünün çarpımı kaçtır?

A) 1 / 7
B) √2 / 5
C) 3 / 5
D) 2 / 3
E) 7 / √2

r Yarıçaplı bir yarım çember içine köşeleri çember üzerinde olacak şekilde çizilebilecek üçgenin maksimum alanlı ve alanının da r^2 olması gerektiğinden Alan(α) = 7·sin(2α) + 24·cos(2α) ⇒ Maksimum Alan(α) = (7^2 + 24^2)^0,5 = 25 = r^2 ⇒ r = 5 birim
[ Alan(α) ]' = 14·cos(2α) - 48·sin(2α) = 0 ⇒ tan(2α) = 7 / 24 = 2·tan(α) / { 1 - [ tan(α) ]^2 } eşitliği ikinci derece denklem şeklinde düzenlenip 7·[ tan(α) ]^2 + 48·tan(α) - 7 = 0 ve 0 < α < 90° olduğundan tan(α) = [ -24 + (24^2 + 7^2)^0,5 ] / 7 = 1 / 7 ve
Pisagor Teoremi gereğince cos(α) = 7 / (7^2 + 1^2)^0,5 = 7 / (5·√2)
r·cos(α) = 5·[ 7 / (5·√2) ] = 7 / √2.

Sorunun Aslı: https://www.facebook.com/photo/?fbid=10165661737644617&set=g.289690338076153