Çözüldü Üçgende Uzunluklar Oranı - Sinüs Teoremi

https://i.ibb.co/xqKQMhK/gen.png
https://www.facebook.com/photo/?fbid=10222966457816606&set=gm.1959836501075183&idorvanity=756598921398953
(Soru daha sonra Facebook grubundan silinmiş)

Aşağıda anlatılan çözüme göre şekli çizip isimlendirmek, açıları yerleştirmek, basit tüm ara işlemleri yapmak başta soruyu o Facebook grubuna gazlamış olan Savaş Hoca olmak üzere ilgilenen öğrencilere ödev:

[BE] ve [AF] ağırlık merkezi yani kenarortayların kesişme noktası olan G'den geçtikleri için ABC ikizkenar üçgendir, [AF] hem kenarortay
hem de yüksekliktir ve kenarortay özelliğinden |BG| = 2·|EG| = 2·7 = 14 cm.
|BF| = |CF| = x cm
|AE| = |CE| = 18 / 2 = 9 cm
∡EBC = θ
[EK] boyunca katlamadan sonra C noktası [BG] arasındaki bir C' noktası (Şekil-3'te C olarak işaretlenmiş olan nokta) olup ∡C'CB = β ve CEC'K dörtgeni deltoid olup [EK] ∩ [CC'] = {H} ve [EK]⊥[CC']
Simetri nedeniyle |C'E| = 9 = 7 + |C'G| ⇒ |C'G| = 2cm ⇒ |BE| = |BG| + |EG| = 14 + 7 = 21 cm
∡CC'K = ∡C'CK = β
|CK| = |C'K| = y cm
|FK| / |BC| = (x - y) / (2x)....(I)
CHK dik üçgeninde ∡CKH = 90° - β ve C'HK dik üçgeninde ∡C'KH = 90° - β = ∡C'KE
∡BKC' = β + β = 2β
∡EC'K = θ + 2β
∡EC'C = ∡EC'K - ∡CC'K = (θ + 2β) - β = θ + β
∡C'EH = ∡CEH = 90° - (θ + β) = ∡CEK = ∡C'EK
ΔCEK Üçgeninde Sinüs Teoremi ile 9 / sin(90° - β) = y / sin[ 90° - (θ + β) ] ⇒ cos(θ + β) = y·cos(β) / 9....(II)
∡BKE = ∡BKC' + ∡C'KE = 2β + (90° - β) = 90° + β
ΔBEK Üçgeninde Sinüs Teoremi ile [ x + (x - y) ] / sin[ 90° - (θ + β) ] = 21 / sin(90° + β) eşitliği sadeleştirilerek düzenlenirse;
(2x - y) / cos(θ + β) = 21 / cos(β)....(III)
(II) eşitliği (III)'teki yerine yazılıp sadeleştirilince y = 3x / 5....(IV)
(IV) eşitliği (I)'e götürülürse [ x - (3x / 5) ] / (2x) = 1 / 5.