Çözüldü Üstel Fonksiyon Limitinde Hiperbolik Fonksiyonların ve Kompleks Sayıların Kullanımı

https://i.ibb.co/C14krPY/hiperbolik.png
https://www.facebook.com/photo/?fbid=4992460920822016&set=gm.2609461269191400
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

lim (x → 0) [ e^(2x) - 1 ] / x = lim (x → 0) (e^x)·[ e^(x) - e^(-x) ] / x....(I)
sinh(x) = [ e^x - e^(-x) ] / 2 ⇒ e^x - e^(-x) = 2·sinh(x)....(II)
(II) eşitliği (I)'de kullanılırsa;
lim (x → 0) (e^x)·2·[ sinh(x) ] / x =
[ lim (x → 0) (e^x)·2 ]·lim (x → 0) [ sinh(x) ] / x =
(e^0)·2·1 = 2.

Notlar:
1. lim (x → 0) [ sinh(x) ] / x = 1 olduğu x = y·i değişken dönüşümüyle şöyle ispatlanabilir;
lim (y → 0) [ sinh(y·i) ] / (y·i)....(III)
sinh(y·i) = i·sin(y)....(IV)
(IV) eşitliği (III)'e taşınıp lim (y → 0) [ i·sin(y) ] / (y·i) = lim (y → 0) [ sin(y) ] / y = 1

2. Bunlar Zonguldak Karaelmas Üniversitesi'nde öğretilmiyor galiba.