Çözüldü Üstel Fonksiyon ve Logaritma - İntegralde Alan

University of Toronto'dan çözümlü bir problemin fen lisesi test sınavı için biraz değiştirilip zorlaştırılmış uyarlaması:

y = f(x) = 4^x / (2^x + 1) fonksiyonunun yatay asimptotu ve ordinat ekseni ile arasında kalan alan kaç birim karedir?

A) log(2) / ln(5)
B) 5 tabanında log(2 / e)
C) ln(5) / ln(2)
D) 2 tabanında log(e / 2)
E) log(5 / 2)


https://i.ibb.co/G9YFtfM/UToronto.png
https://www.math.utoronto.ca/~drorbn/classes/0304/157AnalysisI/Final/Solution.pdf
(Sayfa 3, Soru 4)

Not: Sorunun aslının yukarıdaki çözümündeki mutlak değer fonksiyonunun kullanımı gereksizdir çünkü x ∈ R için 2^x ≥ 0 ve 2^x + 1 > 0 olur.

lim (x → -∞) f(x) = 0 <==== Yatay Asimptot
lim (x → ∞) f(x) = ∞
Ordinat eksenini kestiği nokta f(0) = 4^0 / (2^0 + 1) = 1 / (1 + 1) = 1 / 2
lim (t → -∞) [ 1 / ln(2) ]·{ [ 2^0 - ln(2^0 + 1) ] - [ 2^t - ln(2^t + 1) ] } =
lim (t → -∞) [ 1 / ln(2) ]·{ 1 - ln(2) - [ 2^t - ln(2^t + 1) ] } =
[ 1 / ln(2) ]·[ 1 - ln(2) - 0 + ln(1) ] =
[ 1 - ln(2) ] / ln(2) =
ln(e / 2) / ln(2) =
ln_2(e / 2) ≈ 0,44269...

WolframAlpha Kontrolu ve Grafik:

https://i.ibb.co/r6fnt8m/UToronto-WA.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate 4^x/(2^x+1)dx from x =-infty..0


https://i.ibb.co/dbcDrwM/UToronto-Graph.png