Çözüldü Yüzey Alanında İntegral Kullanımı ve Trigonometrik Dönüşüm (YKS'de Yok)

SAT deneme sorularından birinin fen lisesi için klasik sınav uyarlaması:

y = f(x) denklemi ile verilmiş bir eğrinin x = a ve x = b apsisli noktaları arasındaki kısmının ordinatlar ekseni etrafında döndürülmesiyle meydana gelen alan (alt sınır x = a, üst sınır x = b), 2π·∫ x·{ 1 + [ f '(x) ]^2 }^0,5 dx ile hesaplanabildiğine göre yarıçapı 6 birim olan merkezil çemberin I. Bölgedeki kısmının düşey yarıçapı etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin yüzey alanını integralle hesaplayınız.

x^2 + y^2 = 6^2 = 36 ⇒ y = f(x) = (36 - x^2)^0,5 ⇒ f '(x) = -2x / [ 2·(36 - x^2)^0,5 ] = -x / √(36 - x^2)
[ f '(x) ]^2 = x^2 / (36 - x^2)
{ 1 + [ f '(x) ]^2 }^0,5 = [ 1 + x^2 / (36 - x^2) ]^0,5 = [ 36 / (36 - x^2) ]^0,5 = 6 / √(36 - x^2)
(alt sınır x = 0, üst sınır x = 6), [ 2π·∫ x·6 / √(36 - x^2) dx + 4·∫ √(36 - x^2) dx ]


https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/intgra13.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=(integrate 12pi*x dx / sqrt(36-x^2) from x = 0..6) + 4(integrate sqrt(36-x^2) dx from x=0..6)

108π = 339,292... birim^3.

Notlar:
1. İntegral işlemleri ve gereken trigopnometrik dönüşüm ilgilenen öğrencilere ödev.
2. WolframAlpha sonucu verirken "SlowLarge" diye sonuçla ne ilgisi olduğu belirsiz bir ifade kullanıyor ama daha sonra verdiği ondalık sayıyla 108π'yi doğruluyor.

Sorunun Aslı:
https://www.yumpu.com/en/document/read/33985273/sat-mathematics-level-2-practice-test-mymaxscorecom
(Sayfa 2, Soru 5, Geometrik Çözüm: Sayfa 15)